Vektorer

[Gommle]

Tenk deg at du har tre vektorer, [tex]\vec a,\ \vec b,\ \vec c[/tex]. Du skal lage en lineær kombinasjon av disse, som gjør at de er lik en vektor [tex]\vec d[/tex]. Altså [tex]x\vec a + y\vec b + z\vec c = \vec d[/tex].

Dette er ligningssystemet ditt, bare skrevet på en annen måte. Tegn nå tre forskjellige vektorer på et ark, og lag forskjellige lineære kombinasjoner av vektorene (strekking i positiv og negativ retning er lov, alle starter i origo) som gir en fast vektor [tex]\vec d[/tex].

Er du enig i at det finnes et uendelig antall kombinasjoner? Dette er fordi du har tre forskjellige vektorer i samme plan. Om du bare har to finnes det bare en løsning.

I ditt ligningssett har du ikke et plan, men et rom. Om de tre vektorene ligger i samme plan, og [tex]\vec d = [d_1,d_2,d_3][/tex] ligger i dette planet, finnes det uendelig løsninger. Om de tre vektorene ikke ligger i det samme planet finnes det kun én løsning.

Uttrykket [tex]\vec a \cdot (\vec b \times \vec c)[/tex] må da sjekke om de tre vektorene ligger i det samme planet. [tex]\vec b \times \vec c[/tex] er en vektor som er normal på planet. Om [tex]\vec a[/tex] ligger i planet, blir kryssproduktet med denne normalvektoren 0, og det finnes et uendelig antall løsninger, eller ingen løsning om dette planet ikke treffer [tex]\vec d[/tex]. Én løsning er ikke en av mulighetene.

[Knossos]

Men jeg skjønner fortsatt ikke hvordan jeg skal finne kryssproduktet av [a2, b2, c2]X[a3, b3, c3, d3]. Har kun lært å krysse x, y og z, og ikke en hvilken som helst "d3". Er det skriveleif i boka, eller kan man krysse?

Og et lite spørsmål til:
Jeg skal finne skjæringspunktet mellom 3 plan. Jeg vet hvordan jeg finner skjæringslinja mellom 2 plan, men der stopper forklaringa i boka. Planene har 1 punkt til felles, og det punktet makter ikke jeg å finne!

Savner en enkel forklaring..

[Gommle]

Antar det er en skrivefeil ja.

Her er det jeg hadde prøvd for å finne krysning mellom plan og linje.
La oss anta at [tex]P_0[/tex] er et punkt på et plan med normalvektor [tex]\vec n[/tex], og at linjen er på parametrisk form:

[tex]l:\ \left{{x = x(t)\\ y = y(t)\\ z = z(t)}[/tex]

Krysningspunktet kaller jeg [tex]P[/tex]. Vektoren [tex]\vec{P_0P}[/tex] må være parallell med planet, slik at [tex]\vec{P_0P}\,\times\,\vec n = 0[/tex].

Koordinatene til [tex]P_0[/tex] er f.eks. [tex][a,b,c][/tex], og koordinatene til [tex]P = [x(t), y(t), z(t)][/tex].

Finner du ut av det nå?