Invers funksjon - kule

[Aleks855]

Trenger litt hjelp igjen!

Her er oppgaven:

En snøball smelter slik at overflaten avtar med 1 cm2/min. Finn hvor raskt diameteren avtar når diameteren er 10 cm.

Dette har jeg prøvd:

[tex]A=4\pi r^2[/tex]
[tex]r_0=5cm[/tex]
[tex]A_0=100\pi cm^2[/tex]

[tex]\cancel{A(t)=100\pi - t}[/tex]
[tex]\cancel{A(t) = 4\pi r^2 - t}[/tex]

Så langt strekker skribleriet seg. Er ikke så dreven på inverse funksjoner.

[Gustav]

Hint: [tex]A=4\pi r^2\Rightarrow \frac{dA}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt}=2\pi D\frac{dD }{dt}=-1[/tex], der [tex]D=2r[/tex]

[Aleks855]

Ok, så hvis jeg har forstått det riktig så deriverte du implisitt mhp. t på begge sider?

Så: [tex]\frac{d}{dt}r^2 = 2r\frac{dr}{dt}[/tex]

Men hvordan gikk du fra [tex]\frac{dr}{dt}[/tex] til [tex]\frac{dD}{dt}[/tex]?

Ser du hadde [tex]8\pi r\frac{dr}{dt}[/tex]

8ern ga fra seg 2 til r, slik at 2r ble D, så da har den igjen 4.

Så har den gitt fra seg 2 for å gjøre om [tex]\frac{dr}{dt}[/tex] til [tex]\frac{dD}{dt}[/tex]?

Der datt jeg av.

[Gustav]

Riktig. Grunnen er at derivasjonsoperatoren er lineær, dvs. at [tex]k\frac{dr}{dt}=\frac{d(kr)}{dt}[/tex] for konstanter k.

[Aleks855]

Ah, nå ringer mine bjeller!

[tex]\frac{dD}{dt} = \frac{d}{dt}[D] = \frac{d}{dt}[2r][/tex]

Glemte at [tex]\frac{d}{dt}[/tex] kan behandles som en faktor i slike tilfeller.

Mange takk, mister!

[Gustav]

Nja, som helt vanlig faktor kan den jo ikke behandles, siden en operator per definisjon virker mot høyre, men jeg forstår jo hva du mente.

[Aleks855]

Hehe, jeg tar på meg skylda for feilformuleringa. Hva gjør man ikke for å lette litt på tyngden?

Men videre, siden vi har fått oppgitt at[tex] \frac{dA}{dt} = -1[/tex], blir dette rett fremgangsmåte?

[tex]2\pi D\frac{dD}{dt}=-1[/tex]

[tex]\frac{dD}{dt} = -\frac{1}{2\pi D}[/tex]

[tex]\frac{dD}{dt} = -\frac{1}{20\pi}[/tex]

Med D som opprinnelig diameter, 10cm.

[Gustav]

Ja, ser riktig ut dette:)