Kontinuerlig funksjon

[ambitiousnoob]

Hei!

Sitter og repeterer litt på funksjoner, og har kommet til en oppgave jeg stusser litt på hvordan jeg skal løse. Funksjonen g er gitt:

[tex]{(x-1)^2,Der:0\leq x\leq 3/2[/tex]
[tex]kx-1,Derx>3/2[/tex]

Beklager litt rotete føring, håper det er forståelig.

Oppgaven er å finne k slik at g(x) er kontinuerlig i x=3/2. Kanskje noen kan hjelpe?

[Vektormannen]

Husker du hva kravet er for at en funksjon skal være kontinuerlig i et punkt?

[ambitiousnoob]

Hei!

Slik jeg husker det måtte man få samme svaret når man lå samme verdien inn for x for at funksjonen skulle være kontinuerlig. Stemmer det?

Jeg prøvde å se på uttrykket [tex](x-1)^2[/tex]

Der får man jo x=1 isolert sett. Men hvis man skal ha at x=1 i uttrykket under, så stemmer vel ikke ulikheten om at uttrykket er større enn 3/2?

[Vektormannen]

Ja, hvis funksjonen skal være kontinuerlig så må grenseverdien når x går mot 3/2 fra venstre være lik grenseverdien når x går mot 3/2 fra høyre -- og dette må også være lik funksjonsverdien akkurat i punktet x = 3/2. For å si det litt mer matematisk så må

[tex]\lim_{x \to 3/2^{-}} \ g(x) \quad = \quad \lim_{x \to 3/2^{+}} \ g(x) = g(3/2)[/tex]

Så det du må finne er altså disse grenseverdiene. Da må du huske at i grenseverdien når x går mot 3/2 fra venstre på tall-linjen så er x mindre enn 3/2, og når x går mot 3/2 fra høyre så er x større enn 3/2. Du må altså passe på å velge riktig funksjonsuttrykk når du regner ut grenseverdien.

Prøv på det og se hvor langt du kommer!

(Jeg tror kanskje du har skrevet en feil? I definisjonen din skal det vel stå enten mindre eller lik 3/2 i øverste linje eller større eller lik 3/2 i nederste linje? Hvis ikke er ikke funksjonen definert i x = 3/2, og da gir det ikke mening å snakke om at den er kontinuerlig i det hele tatt.)

[ambitiousnoob]

Takk for god hjelp, jeg skal prøve på det og se om jeg kommer i mål

Du har helt rett, jeg har skrevet feil, men visste ikke hvordan jeg fant det kombinerte tegnet "mindre enn eller lik". Kanskje du vet kommandoen i latex?:)

[Vektormannen]

\leq for mindre eller lik (leq = Less or EQual) og \geq (Greater or EQual) for større eller lik.

[ambitiousnoob]

Da var det endret:)

[ambitiousnoob]

Hei igjen!

Når jeg prøver meg på det første uttrykket, så står det jo at x må være større enn eller lik 0, og mindre enn eller lik 3/2. Er det ikke slik da at når man prøver seg med verdier for x, for å finne grenseverdien, så prøver man nærmere og nærmere 3/2 og ser hvilket tall man nærmer seg? Ser i så fall ut for meg at man nærmer seg 0,25. Men i så fall så ser jeg ikke hvordan man kan teste det samme i den andre linjen, for der har man jo to ukjente?

[Vektormannen]

Du trenger ikke å sjekke forskjellige tall. Har du regnet ut grenseverdier før?

Her får du at [tex]\lim_{x \to 3/2^-} \ g(x) = \lim_{x \to 3/2^-} \ (x-1)^2 = \left(\frac{3}{2} - 1\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}[/tex] (som du også fant ved å sjekke tall som er nærme 3/2.)

Når du regner ut grenseverdien i det andre uttrykket så gjør du dette på lignende vis. Da må du som du sier bruke det nederste uttrykket. Hva får du når du regner ut den grenseverdien?

[ambitiousnoob]

Da blir det nederste

[tex]\lim_{x \to 3/2^+}\ g(x)=kx-1=\frac{3}{2}k-1[/tex]

Blir det da riktig å sette det lik 0 og løse for k? Eller må jeg sette det som en ulikhet som er større enn 3/2?

[Vektormannen]

Neida, dette er helt riktig så langt! Når x nærmer seg 3/2 så vil jo kx - 1 nærme seg k * 3/2 - 1!

Nå bruker du som du sier at dersom g(x) skal være kontinuerlig, så må denne grenseverdien være lik den andre grenseverdien og funksjonsverdien i punktet -- som er 1/4. Da kan du bestemme verdien for k.

[ambitiousnoob]

Aha!

Da setter jeg:

[tex]\frac{3}{2}k-1=\frac{1}{4}[/tex]

[tex]k=\frac{1,25}{1,5}=0,833[/tex]

Da fikk jeg samme svaret på begge uttrykkene Da er jeg vel i mål?:)

[Vektormannen]

Da er du i mål ja!

Hvis du vil se dette fra et grafisk synspunkt så er [tex]y = (x-1)^2[/tex] som du sikkert vet en parabel, mens [tex]y = kx - 1[/tex] er en linje. Det du har gjort nå er å finne konstanten k (stigningstallet til linja) som gjør at den akkurat treffer parabelen i punktet x = 3/2. Da møtes altså de to grenene av funksjonen, og da blir funksjonen g kontinuerlig fordi den "henger sammen" (har samme y-verdi) i punktet.

[ambitiousnoob]

Helt supert, takk for at du tok deg tid til å forklare og vise, neste oppgave er ganske lik, nå bør den gå helt fint!:)

Ha en fin kveld videre!