Jeg skal bevise at C[0,1] over de reelle tall er et komplett metrisk rom med metrikken: [tex]d_{\infty}(f,g)=max \{ |f(x) - g(x)|: x \in [0,1] \}[/tex].
Jeg vet at jeg må vise at alle Cauchy-følger er konvergente. Derfor starter jeg å anta at [tex]f_n[/tex] er en Cauchy-følge.
Fra definisjonen til Cauchy-følger vet vi at det finnes en M slik at for alle m,n større enn M gjelder: [tex]d(f_n, f_m) < \epsilon[/tex] for alle epsilon større enn null.
Så skal jeg på en eller annen måte vise at da konvergerer følgen til en verdi f i C[0,1]:
For alle [tex]\epsilon_1>0[/tex] eksisterer det en N slik at hvis k>N, så er [tex]d_{\infty}(f_k, f)< \epsilon_1[/tex]
Men hva kan jeg si om grensen? Må jeg si noe om grensen, eller kan jeg bare anta at den er konvergerer til en verdi i C[0,1]?
Hvis det er gitt:
La P=M+N og [tex]\epsilon = \frac{1}{2}\epsilon_1>0[/tex]. Har at [tex]d_{\infty}(f_{p_1}, f_{p_2}) \leq d_{\infty}(f_{p_1}, f) + d_{\infty}(f, f_{p_2}) < 2 \epsilon = \epsilon_1[/tex].
Er dette rett?
Kompletthet i et metrisk rom
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hint: La [tex]\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}[/tex] være en Cauchy-følge. Fiksér [tex]x\in [0,1][/tex] og vis at følgen [tex]\{f_n(x)\}[/tex] i [tex]\mathbb{R}[/tex] er Cauchy. Bruk at [tex]\mathbb{R}[/tex] er komplett.
Definér for alle x i [0,1]: [tex]f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)[/tex]...
Vis til slutt at [tex]f(x)\in C[0,1][/tex].
Definér for alle x i [0,1]: [tex]f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)[/tex]...
Vis til slutt at [tex]f(x)\in C[0,1][/tex].
La [tex]\{f_n \} [/tex] være en Cauchy-følge i de reelle tall. La så [tex]s \in [0,1] [/tex].
Påstand: [tex]\{f_n(s) \} [/tex] er Cauchy.
La [tex]\epsilon >0[/tex], det finnes en N slik at for alle p,q > N, så er [tex]d_{\infty}(f_p , f_q)< \epsilon[/tex]. Spesielt vil det da være slik i [0,1] siden dette er en undermengde av R og vi har:
[tex]|f_p (s) - f_q (s)| \leq d_{\infty}(f_p , f_q) < \epsilon[/tex]. Følgelig er [tex]\{f_n(s) \} [/tex] Cauchy. Siden R er komplett og [tex]\{f_n(s) \} [/tex] er Cauchy, må følgen konvergere.
La [tex]f(s) = \lim_{n \to \infty} f_n (s)[/tex]. La [tex]\epsilon>0[/tex], da finnes det en r slik at for alle p,q>r gjelder: [tex]d_{\infty}(f_q , f_p) < \frac{1}{3} \epsilon[/tex]. La p>r, for alle [tex]t \in [0,1][/tex] har vi da at: [tex]|f(t) - f_p (t)| = \lim_{q \to \infty}|f_q (t) - f_p (t)|[/tex]. Men dette må være mindre eller lik [tex]d_{\infty}(f_q, f_p) < \frac{1}{3} \epsilon[/tex] siden vi begrenser oss til [0,1] og for alle [tex]t \in [0,1][/tex].
Viser kontinuitet for [tex]\{ f_p \}[/tex] i t. For alle epsilon>0 finnes det en delta slik at hvis [tex]|s-t|< \delta[/tex] så er [tex]|f_p (s) - f_p (t)|< \epsilon < \frac{1}{3} \epsilon[/tex]
Har at:
[tex]|f(s) - f(t)| = |f(s) - f_p (s) + f_p (s) - f(t) - f_p (t) + f_p (t)| \leq |f(s) - f_p (s)| + |f_p (s) - f_p (t)| + |f(t) - f_p (t)| < 3(\frac{1}{3} \epsilon) = \epsilon[/tex]
Så [tex]\{ f_p \}[/tex] er Cauchy og konvergerer i [0,1].
Er dette sammen med førsteposten nok til å fullføre beviset? Puh.
Påstand: [tex]\{f_n(s) \} [/tex] er Cauchy.
La [tex]\epsilon >0[/tex], det finnes en N slik at for alle p,q > N, så er [tex]d_{\infty}(f_p , f_q)< \epsilon[/tex]. Spesielt vil det da være slik i [0,1] siden dette er en undermengde av R og vi har:
[tex]|f_p (s) - f_q (s)| \leq d_{\infty}(f_p , f_q) < \epsilon[/tex]. Følgelig er [tex]\{f_n(s) \} [/tex] Cauchy. Siden R er komplett og [tex]\{f_n(s) \} [/tex] er Cauchy, må følgen konvergere.
La [tex]f(s) = \lim_{n \to \infty} f_n (s)[/tex]. La [tex]\epsilon>0[/tex], da finnes det en r slik at for alle p,q>r gjelder: [tex]d_{\infty}(f_q , f_p) < \frac{1}{3} \epsilon[/tex]. La p>r, for alle [tex]t \in [0,1][/tex] har vi da at: [tex]|f(t) - f_p (t)| = \lim_{q \to \infty}|f_q (t) - f_p (t)|[/tex]. Men dette må være mindre eller lik [tex]d_{\infty}(f_q, f_p) < \frac{1}{3} \epsilon[/tex] siden vi begrenser oss til [0,1] og for alle [tex]t \in [0,1][/tex].
Viser kontinuitet for [tex]\{ f_p \}[/tex] i t. For alle epsilon>0 finnes det en delta slik at hvis [tex]|s-t|< \delta[/tex] så er [tex]|f_p (s) - f_p (t)|< \epsilon < \frac{1}{3} \epsilon[/tex]
Har at:
[tex]|f(s) - f(t)| = |f(s) - f_p (s) + f_p (s) - f(t) - f_p (t) + f_p (t)| \leq |f(s) - f_p (s)| + |f_p (s) - f_p (t)| + |f(t) - f_p (t)| < 3(\frac{1}{3} \epsilon) = \epsilon[/tex]
Så [tex]\{ f_p \}[/tex] er Cauchy og konvergerer i [0,1].
Er dette sammen med førsteposten nok til å fullføre beviset? Puh.
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Hm, ser ganske bra ut, tror jeg, men det gjenstår å vise at [tex]f[/tex] slik du har definert den, er grensen til følgen [tex]f_n [/tex]..
Dvs. at for alle [tex]\epsilon>0[/tex] fins en [tex]N[/tex] slik at [tex]d_{\infty}(f,f_n)<\epsilon[/tex] for [tex]n>N[/tex]
Dvs. at for alle [tex]\epsilon>0[/tex] fins en [tex]N[/tex] slik at [tex]d_{\infty}(f,f_n)<\epsilon[/tex] for [tex]n>N[/tex]
