feilestimater

[Integralen]

Fra kalkulus boka side 418 følger det;

For simpsons formel er feilen lik:
[tex]\frac{(b-a)^5 \cdot f^{(4)}(c)}{2880n^4}[/tex]

Videre er:
[tex]\frac{M}{2880n^4}[/tex]

der M er maksimumsverdien til fjerdederivert til f.

Videre følger det:
[tex]f^{(4)}(x)=(16x^4-48x^2+12)e^{-x^2}[/tex]

Foretar vi et grovt overslag,ser vi at for [tex]\: x \in [0,1] \: [/tex],så er

[tex]|f^{(4)}(x)|\geq(16+48+12) \cdot 1=76[/tex]

mitt spørsmål er;
Hvordan ble dette til? [tex]\: (16+48+12) \cdot 1=76 \: [/tex]

[tex]e^{-x^2}=1[/tex]
når x=0.
Men hvis x=0 så blir jo det fra fjerdederivertfunksjonen det i parentes lik 12 og ikke 76.

Så hva har skjedd her?Maksimumsverdien til fjerdederivert er jo lik 12 ser det ut som og ikke 76.Så hvordan ble det til 76?

På forhånd takk.

[wingeer]

Husk nå at du skal ha maksimalverdien på intervallet [0,1]. Vi vet at maksimalverdien til denne eksponentialfunksjonen er 1 (når x=0) og maksimalverdien for polynomet er 76 (når x=1). Siden dette er et grovt estimat ganger vi bare disse to maksimalverdiene sammen. Selvfølgelig kan du med mer "avanserte" metoder finne et bedre estimat, men er det virkelig verdt det/nødvendig? Mest sannsynlig: Nei.
Håper dette hjalp.

[Integralen]

Polynom:

[tex]16x^4-48x^2+12[/tex]

x=1 gir -20.og ikke 76.ser du?

Så hvordan mener du at x=1 gir 76?

[wingeer]

Polynom:

[tex]16x^4-48x^2+12[/tex]

x=1 gir -20.og ikke 76.ser du?

Så hvordan mener du at x=1 gir 76?

Ah, min feil. Men det spiller egentlig ingen rolle. Vi foretar et grovt estimat.
[tex]|(16x^4-48x^2+12)e^{-x^2}|=|(16x^4-48x^2+12)||e^{-x^2}| \leq |(16x^4-48x^2+12)| \cdot 1 \leq |(16x^4+48x^2+12)| \leq (16+48+12) =76 [/tex].

[Integralen]

men hvordan vet du at den ønskede nøyaktigheten som skal være bedre enn 10^-4 er oppnådd?

[wingeer]

men hvordan vet du at den ønskede nøyaktigheten som skal være bedre enn 10^-4 er oppnådd?

Hvis nøyaktigheten skal være bedre enn et tall [tex]\epsilon[/tex] må vi da ha at:
[tex]\frac{(b-a)^5 |f^4(c)|}{2880n^4} \leq \frac{76(b-a)^5}{n^4} = h^4 \frac{76(b-a)}{2880} < \epsilon[/tex], hvor [tex]h=\frac{(b-a)}{n}[/tex].
Videre er vi i [0,1](?) så (b-a)=1, vi har da at:
[tex]h=\frac{1}{n}[/tex] og at [tex](\frac{1}{n})^4 \frac{76}{2880} < \epsilon[/tex]. Oppgaven din er da å finne passende n.
For øvrig, er du sikker på at tallet 2880 er rett?

[Integralen]

Ja 2880 er rett og du har regnet dg fram til riktig også og dt ukjente tallet er 10^-4. Man får dermed n større enn 3,57 etter å ha tatt fjerderoten noe som betyr at n=4. Og dette gir en tilnærming lik 0,2432.Men spørmålet er ;

Hvordan vet du at den ønskede nøyaktigheten er OPPNÅDD? Står dt i oppgaven.

Skal man da svare at den ønskede nøyaktigheten er oppnådd siden man har brukt fremgangsmåten som du i din post har skrevet?og som også står i boka foresten...

?

[wingeer]

La A være integralet du ønsker å regne ut, og la [tex]A_*[/tex] være estimatet regnet ut ved Simpson's metode. Da har vi at:
[tex]|A-A_*| \leq \frac{(b-a)^5|f^4(c)|)}{2880n^4}[/tex]. Dette betyr at verdien av integralet minus den numerisk tilnærmede verdien er MINDRE eller lik uttrykket på høyre side, som med andre ord vil si at vi har oppnådd presisjonen vi ønsker.

[Integralen]

Se der ja, dermed gikk dt i boks! Takker:-)