Eksponentiallikning, R1

[mikki155]

Hei, har problemer med en oppgave:

[tex]4^x + 1000 \cdot 4^{(-x)} - 110 = 0[/tex]

Fint om dere kunne hjulpet meg igang

[Vektormannen]

Hva skjer om du ganger med [tex]4^x[/tex] på begge sider?

[mikki155]

Mener du:

[tex]4^x \cdot 4^x + 1000 \cdot 4^{(-x)} \cdot 4^x - 110 \cdot 4^x = 0 \cdot 4^x[/tex]

Evt.

[tex]4^2x + 1000 \cdot 4 - 110 \cdot 4^x = 0[/tex]

?

[Vektormannen]

Ja, stemmer

Ser du nå at du har fått en andregradsligning med hensyn på [tex]4^x[/tex]? (Kanskje du ser det enklere hvis du kaller [tex]4^x[/tex] for f.eks. [tex]u[/tex]. Husk på at [tex]4^{2x} = (4^x)^2[/tex].)

[mikki155]

Ja, det ser jeg, men problemet er at jeg ikke får fasitsvar.

Altså, [tex](4^x)^2 - 110 \cdot 4^x + 4000 = 0[/tex]

Vi får ett gjeldende svar på andregradslikningen, da det andre er et imaginært tall: [tex](4^x - 55)^2[/tex]

Da blir [tex]4^x = 55[/tex]

[tex]x \cdot log4 = log 55[/tex]

[tex]x = \frac{log 55}{log 4}[/tex]

Som er irrelevant ifølge fasitsvaret:

[tex]x = \frac{1}{log4}[/tex] eller [tex]x = \frac{1}{log 2}[/tex]

[Vektormannen]

Beklager, jeg overså en feil i innlegget ditt over. Pass på at [tex]4^{-x+x} = 4^0 = 1[/tex], ikke 4! Det forandrer på ligningen din.

[mikki155]

Der ja, tusen takk
Vært en stund siden vi har hatt om potensregler, så glemte at [tex]a^0 = 1[/tex]

Men da gir det jo mening:

[tex](4^x)^2 - 110 \cdot 4^x + 1000 \cdot 1 = 0[/tex]

Da får vi løsningene:

[tex]4^x = 100[/tex] eller [tex]4^x = 10[/tex]

Vi finner første løsning av x:

[tex]x \cdot log 4 = log 10[/tex]

[tex]x = \frac {log 10}{log4}[/tex]

Vi vet at [tex]log 10 = 1[/tex] (Siden 10 må opphøyes 1 gang for å få a = 10)

[tex]x = \frac {1}{log4}[/tex]

Andre løsningen av x:

[tex]x \cdot log 4 = log 100[/tex]

[tex]x = \frac {2log10}{2log2}[/tex]

Vi stryker 2 mot 2 og får

[tex]x = \frac {1}{log2}[/tex]

Altså har andregradsuttrykket [tex](4^x)^2 - 110 \cdot 4^x + 1000 = 0[/tex] løsningene:

[tex]x = \frac {1}{log4}[/tex] eller [tex]x = \frac {1}{log2}[/tex]

[Vektormannen]

Flott!