A ikke er null, AA=0 matriser

[Nebuchadnezzar]

Har en oppgave der jeg får oppgitt at A er en 2X2 matrise.

Videre vet jeg at A er ulik nullmatrisen, og at AXA=nullmatrisen.

Spørsmålet var. "Finnes det noen slike matriser"

Etter litt intensiv regning, tipping og magi kom jeg frem til at.

Alle matriser på formen [ 0 , a ; 0 , 0 ]

[tex]\left[ \begin{matrix} \, 0 & \; a \\ \, 0 & \; 0 \, \\ \end{matrix} \right] [/tex]

Funker

[tex]\left[ \begin{matrix} \; a & \, -a \\ a & -a \\ \end{matrix} \right][/tex]

Er disse to mtrisene de eneste løsningene? Finnes det flere? Hvordan viser jeg at det eventuelt finnes/ikke finnes flere løsnigner?

A betegner et tifleldig valgt tall ovenfor

[espen180]

Den generelle fremgangsmåten er å la A ha elementene a,b,c,d, og sette opp et (ulineært) ligningssystem i 4 ukjente:

[tex]a^2+bc=0[/tex]
[tex]d^2+bc=0[/tex]
[tex]b(a+d)=0[/tex]
[tex]c(a+d)=0[/tex]

Hvis du løser dette systemet for a,b og c, vil løsningsmengden være
[tex]a=-d[/tex]
[tex]b=\frac{-d^2}{t}[/tex]
[tex]c=t[/tex]
for hver reell [tex]t\neq 0[/tex].