Hei.
Står litt fast på følgende oppgave:
Fix [tex]a > 1[/tex]. Take [tex]x_1 > \sqrt{a}[/tex], and define:
[tex]x_{n+1} = \frac{a + x_n}{1 + x_n} = x_n + \frac{a - x_n^{2}}{1 + x_n}[/tex]
a) Prove that [tex]x_1 > x_3 > x_5 > . . .[/tex]
b) Prove that [tex]x_2 < x_4 < x_6 < . . . [/tex]
OK. Det som gjør at jeg sliter er at jeg her ikke skal vise at sekvensen er monotont økende eller minkende, men at den er monotont minkende for oddetall og monotont økende for partall. Dersom dette hadde vært en gjennomgående økende eller minkende sekvens, så hadde jeg tatt:
[tex]x_{n+1} - x_n = \frac{a - x_n^{2}}{1 + x_n}[/tex].
Og funnet ut om differansen [tex]x_{n+1} - x_n[/tex] er positiv eller negativ (I dette tilfellet er det enkelt å se at den er negativ). Men jeg er usikker på hvordan jeg skal løse dette for kun oddetall, partall. Setter derfor stor pris på hjelp!
Rekursjon
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
1. Vis først at [tex]\forall k\in\mathbb{N}\,x_{2k-1}>\sqrt{a},x_{2k}<\sqrt{a}[/tex]
2. Deretter kan du vise at [tex]x_3<x_1[/tex] ved å benytte [tex] 1 < \sqrt{a}[/tex] og [tex]\sqrt{a}<x_1\rightarrow a<x_1^2[/tex]
3. Vis fra det at [tex]x_{2k+3}<x_{2k+1}[/tex]
4. Som i steg 2, vis at [tex]x_4 > x_2[/tex] og deretter vis at [tex]x_{2k+2}>x_{2k}[/tex].
2. Deretter kan du vise at [tex]x_3<x_1[/tex] ved å benytte [tex] 1 < \sqrt{a}[/tex] og [tex]\sqrt{a}<x_1\rightarrow a<x_1^2[/tex]
3. Vis fra det at [tex]x_{2k+3}<x_{2k+1}[/tex]
4. Som i steg 2, vis at [tex]x_4 > x_2[/tex] og deretter vis at [tex]x_{2k+2}>x_{2k}[/tex].
Takk for tipset.
Dette er sikkert fordi jeg er trøtt og sliten etter å ha jobbet i timesvis i dag, men jeg får ikke dette helt til. Dersom vi f.eks. tar utgangspunkt i [tex]x_{2k-1}[/tex] og setter inn så får vi jo:
[tex]x_{2k-1} = \frac{a + x_{2k-2}}{1 + x_{2k-2}}[/tex]
Men hvordan kan jeg gå videre herfra? Vi har jo ingen informasjon om leddet [tex]x_{2k-2}[/tex].
Dette er sikkert fordi jeg er trøtt og sliten etter å ha jobbet i timesvis i dag, men jeg får ikke dette helt til. Dersom vi f.eks. tar utgangspunkt i [tex]x_{2k-1}[/tex] og setter inn så får vi jo:
[tex]x_{2k-1} = \frac{a + x_{2k-2}}{1 + x_{2k-2}}[/tex]
Men hvordan kan jeg gå videre herfra? Vi har jo ingen informasjon om leddet [tex]x_{2k-2}[/tex].
. Takk så mye for hjelpen!