Epsilon / delta bevis

[Nebuchadnezzar]

Hei! Jeg skal vise grensen under via epsilon/delta bevis, og lurer litt på om jeg har gjort riktig... Er litt vanskelig dette

Vis at [tex]\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x^2+1}[/tex]

Så da må dere være snille, lete frem den største babyskjeen og mate meg ^^
Prøver meg på en løsning under, men vær så snill å forklar om det jjeg gjør i hver linje er riktig.

Jeg vil gjerne finne en delta slik at epsilon alltid er mindre enn

[tex]\left| \frac{x-2}{x^2+1}\right| < \epsilon [/tex]

Vi kan skrive om uttrykket over

[tex]\frac{ |x-2|}{x^2+1} < \epsilon [/tex]

Side nevner alltid er positiv og ikke forandrer resultatet så kan vi se på

Så av en grunn jeg ikke aner kan vi anta at |x-2|<1

Så ehm, kunne noen hjelpe?


[/tex]

[svinepels]

Siden [tex]x^2+1 \geq 1[/tex] for alle [tex]x[/tex], må [tex]\frac{|x-2|}{x^2+1} \leq |x-2|[/tex] for alle [tex]x[/tex]. La så [tex]\epsilon>0[/tex] være gitt. Har du noen idé til hva vi kan la delta være for å fullføre beviset?

[Vektormannen]

Anbefaler å følge svinepels sitt råd ovenfor, det er absolutt enklest og mest elegant!


Hvis du derimot ikke hadde kommet på at [tex]1 + x^2 \geq 1 \ \Rightarrow \ \frac{1}{1+x^2} \leq 1[/tex] for alle [tex]x[/tex] så kunne du gjort det du selv foreslår, altså at du bestemmer deg for at [tex]\delta[/tex] i alle fall skal være mindre eller lik enn 1. (Her kan du velge deg et hvilket som helst annet tall.) Dette kan du fint gjøre. Det du vil er jo at intervallbredden [tex]\delta[/tex] rundt x = 2 skal være slik at for alle x i dette intervallet så vil [tex]f(x)[/tex] ligge innenfor en avstand [tex]\epsilon[/tex] rundt y = 0. La oss si at [tex]\epsilon[/tex] er et veldig stort tall. Da kan du jo fint velge [tex]\delta = 1[/tex] og med god margin være sikker på at [tex]f(x)[/tex] vil være innenfor en avstand [tex]\epsilon[/tex] fra y = 0. Og hvis [tex]\epsilon[/tex] er et veldig lite tall så må i alle fall [tex]\delta < 1[/tex]. Så du kan med andre ord bestemme deg for at [tex]\delta[/tex] i alle fall skal være mindre enn 1. Du kunne like gjerne bestemt deg for at [tex]\delta[/tex] i alle fall skal være mindre eller lik 0.5, eller 100.

Det viktige er at du nå kan finne ut hvordan faktoren [tex]\frac{1}{1+x^2}[/tex] vil være begrenset dersom [tex]|x-2| < 1[/tex]. Da får du at [tex]-1 < x-2 < 1 \ \Rightarrow \ 1 < x < 3 \ \Rightarrow \ 1 < x^2 < 9 \ \Rightarrow \ 2 < x^2 + 1 < 10[/tex]. Tar vi og omvender brøkene i denne ulikheten får vi [tex]\frac{1}{10} < \frac{1}{x^2 + 1} < \frac{1}{2}[/tex].

Da ser vi at: Hvis [tex]|x - 2| < 1[/tex] så vil i alle fall [tex]\frac{1}{x^2 + 1}< \frac{1}{2}[/tex]. Men det betyr at [tex]\left|\frac{x-2}{x^2 + 1}\right| < \left|\frac{x-2}{2}\right|[/tex] hvis [tex]|x-2| < 1[/tex]. Det betyr at vi kan få [tex]|f(x) - 0| < \epsilon[/tex] (som vi ønsker) ved å sørge for at [tex]\frac{1}{2}|x-2| < \epsilon[/tex]. Da må vi passe på at [tex]\delta[/tex]-verdien vi velger garantert er mindre eller lik 1 samtidig som den er slik at [tex]\frac{1}{2}|x-2| < \epsilon[/tex].

(Som du ser vil dette medføre en god del mer regning enn om observerer det som svinepels påpeker ovenfor.)