Logaritme likning

[pythagoras]

Noen som kan fortelle hvorfor jeg får forskjellige svar med forskjellige løsningsmetoder i denne likningen? Mattelæreren min i R1 skjønte det ikke..

log[sub]10[/sub] (2x-2)[sup]2[/sup] = 4 log[sub]10[/sub] (1-x)
2 log[sub]10[/sub] (2x-2) = 4 log[sub]10[/sub] (1-x)
log[sub]10[/sub] (2x-2) = 2 log[sub]10[/sub] (1-x)
log[sub]10[/sub] (2x-2) = log[sub]10[/sub] (1-x)[sup]2[/sup]
2x-2 = 1-2x+x[sup]2[/sup]
x[sup]2[/sup]-4x+3=0

x=3 v x=1

Alternativ:

log[sub]10[/sub] (2x-2)[sup]2[/sup] = 4 log[sub]10[/sub] (1-x)
log[sub]10[/sub] (2x-2)[sup]2[/sup] = log[sub]10[/sub] (1-x)[sup]4[/sup]
(2x-2)[sup]2[/sup] = (1-x)[sup]4[/sup]
(2x-2)[sup]2[/sup] = ((1-x)[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]
4(x[sup]2[/sup]-2x+1) = (1-2x+x[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]

x[sup]2[/sup]-2x+1 = u

4u=u[sup]2[/sup]
u=0 v u=4

x[sup]2[/sup]-2x+1 = 0
x=1

x[sup]2[/sup]-2x+1 = 4
x= -1 v x=3

x= -1 v x=1 v x=3

x=1 og x=3 er ikke gyldige løsninger (log[sub]10[/sub] (1-x)), så x= -1 er riktig svar. Men hvorfor får jeg ikke dette i den øverste løsningsmetoden?

[Vektormannen]

Problemet er at hvis [tex]\log a^2 = \log b[/tex] så er ikke nødvendigvis [tex]2 \log a = b[/tex]. Vi har jo f.eks. at [tex]\log (-2)^2 = \log 4[/tex], men [tex]2 \log(-2)[/tex] finnes ikke en gang. Det vi derimot kan si med 100% sikkerhet er at hvis [tex]\log a^2 = b[/tex] så må [tex]2 \log |a| = b[/tex] (der |a| er absoluttverdien, dvs. den positive tallverdien av a.)

Hvis du skal følge den første metoden må du altså her bruke i overgangen fra første til andre linje at du får [tex]2 \log_{10} |2x-2|[/tex] på venstre side. Veien videre derfra kan f.eks. være å bruke at [tex]|a| = \sqrt{a^2}[/tex] eller å dele opp i to tilfeller der du først antar at 2x-2 > 0 => x > 1. Da kan du fjerne absoluttverditegnet (fordi du vet at 2x-2 er positiv) og da får du den ligningen du regnet ut i sted. Så må du anta at x < 1. Da vet du at 2x-2 er negativ, så da vet du at |2x-2| = -(2x-2).

[pythagoras]

Takk! Skjønte det nå. Men hva mener du med at jeg kan bruke
|a|= [symbol:rot] a[sup]2[/sup] videre etter 2 log[sub]10[/sub]|2x-2|?

Har ikke hatt om absoluttverdi før, så dette er litt nytt for meg

[Vektormannen]

Jeg mener at du kan skrive |2x-2| som [tex]|2x-2| = \sqrt{(2x-2)^2}[/tex] (se nedenfor angående hvorfor). Da får du nemlig et uttrykk som du allerede vet hvordan du kan behandle:

[tex]\log_{10} |2x-2| = 2 \log_{10} (1-x)[/tex]

[tex]\sqrt{(2x-2)^2} = (1-x)^2[/tex]

Kvadratrøtter er forhåpentligvis noe du er mer kjent med enn absoluttverdier. Veien videre blir da å f.eks. opphøye begge sider i andre slik at du får bort kvadratroten. Den ligningen du da står igjen med vil være identisk med den du får i det du gjorde nederst i den første posten din!

Absoluttverdien av et tall er som sagt den positive tallverdien av tallet. Det vil si at f.eks. |-3| = 3 mens |5| = 5. Det vi gjør for å regne ut absoluttverdien av et tall er at vi fjerner eventuelle negative fortegn i tallet. Absoluttverdien kan uttrykkes på flere måter. Som sagt ovenfor kan vi skrive absoluttverdien av et tall a som [tex]|a| = \sqrt{a^2}[/tex]. Vi har f.eks. at [tex]|-3| = \sqrt{(-3)^2} = \sqrt 9 = 3[/tex]. Dette fungerer fordi alle tall som opphøyes i andre blir positive. Og når vi tar kvadratroten får vi alltid et positivt tall.

En annen måte å skrive absoluttverdifunksjonen på er som en funksjon med delt forskrift. Det vil si at vi velger funksjonsuttrykk basert på hvilke verdier variabelen har. Vi kan skrive absoluttverdifunksjonen som

[tex]|x| = \left\{\begin{array} x, & \text{hvis } x \geq 0\\ -x, & \text{hvis } x < 0\end{array}\right.[/tex]

Når vi skal regne ut |-3| så er x = -3. Da er x < 0, og da skal vi altså bruke den nederste linjen som verdien av |-3|. Da får vi |-3| = -(-3) = 3.

Vi kan bruke denne sistnevnte definisjonen av absoluttverdi for å regne ut ligningen også. Det vi gjør da er at vi først antar at [tex]x \geq 1[/tex]. For da er [tex]2x-2 \geq 0[/tex]. Med andre ord vet vi da at det vi tar absoluttverdien av er positivt (større enn eller lik 0.) Hvis vi ser på definisjonen ovenfor så skal vi da velge den øverste linjen. Da blir absoluttverdien av tallet bare lik tallet selv. Med andre ord får vi ligningen

[tex]2 \log_{10} |2x-2| = 4 \log_{10} (1-x)[/tex]

[tex]\log_{10} (2x-2) = 2 \log_{10}(1-x), \quad x \geq 1[/tex]

Denne gav de løsningene du fant. Men nå har vi ikke sett på alle x-verdier. Vi har bare sett på hva som skjer når [tex]x \geq 1[/tex]. Nå må vi se på hva som skjer når [tex]x < 1[/tex]. Da vet vi at det vi tar absoluttverdien av er mindre enn 0. Da skal vi i følge definisjonen bruke nederste linje og multiplisere tallet med -1 (slik at det blir positivt). Da får vi:

[tex]2 \log_{10} |2x-2| = 4 \log_{10} (1-x)[/tex]

[tex]\log_{10} (-(2x-2)) = 2 \log_{10}(1-x), \quad x < 1[/tex]

[tex]2 - 2x = (1-x)^2[/tex]

Og så videre. Denne sistnevnte metoden er kanskje litt vanskeligere å forstå, og den krever litt mer regning.