Integral - arctan(x)

[Razzy]

[tex]$$\int {{1 \over {{x^2} + 4}}\;dx} $$[/tex]

[tex]$$\int {{1 \over {4 + {x^2}}}\;dx} $$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {{1 \over 2}{{\tan }^{ - 1}}\left( {{x \over 2}} \right) + C}} $$[/tex]

Hei!

Jada kom så langt etter litt villkjøring med delbrøkoppspalting (skammer seg, for det er nemlig ikke konjugatsetningen i nevner her!)

Må jeg bruke substitusjon for å løse dette integralet, eller holder det å skrive det slik det står? Det gir ikke meg den hele sammenhengen. (og sammenhengen må man ha med seg)

[Nebuchadnezzar]

[tex]I = \int {\frac{1}{{{x^2} + {2^2}}}dx} [/tex]

[tex] x = 2\tan u\qquad \Rightarrow \qquad dx = 2\sec {\left( x \right)^2}du[/tex]

[tex]u = \arctan \left( {\frac{x}{2}} \right) [/tex]

[tex] I = \int {\frac{1}{{{{\left( {2\tan x} \right)}^2} + {2^2}}}2\sec {{\left( x \right)}^2}du} [/tex]

[tex] I = \int {\frac{2}{4}\frac{{\sec {{\left( x \right)}^2}}}{{{{\left( {\tan x} \right)}^2} + 1}}du} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{2}\int {\frac{{\sec {{\left( x \right)}^2}}}{{\sec {{\left( x \right)}^2}}}du} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{2}u + C [/tex]

[tex]I = \frac{1}{2}\arctan \left( {\frac{x}{2}} \right) + C [/tex]

Anbefaler deg å prøve deg på integralet

[tex] I = \int {\frac{1}{{{x^2} + {a}}}dx} \\ [/tex]

[Razzy]

[tex]I = \int {\frac{1}{{{x^2} + {2^2}}}dx} [/tex]

[tex] x = 2\tan u\qquad \Rightarrow \qquad dx = 2\sec {\left( x \right)^2}du[/tex]

[tex]u = \arctan \left( {\frac{x}{2}} \right) [/tex]

[tex] I = \int {\frac{1}{{{{\left( {2\tan x} \right)}^2} + {2^2}}}2\sec {{\left( x \right)}^2}du} [/tex]

[tex] I = \int {\frac{2}{4}\frac{{\sec {{\left( x \right)}^2}}}{{{{\left( {\tan x} \right)}^2} + 1}}du} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{2}\int {\frac{{\sec {{\left( x \right)}^2}}}{{\sec {{\left( x \right)}^2}}}du} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{2}u + C [/tex]

[tex]I = \frac{1}{2}\arctan \left( {\frac{x}{2}} \right) + C [/tex]

Anbefaler deg å prøve deg på integralet

[tex] I = \int {\frac{1}{{{x^2} + {a}}}dx} \\ [/tex]

Nebuchadnezzar falt litt av pinnen her... Er dette en av disse knepene dine?

[tex] x = 2\tan u\qquad \Rightarrow \qquad dx = 2\sec {\left( x \right)^2}du[/tex]

[tex]u = \arctan \left( {\frac{x}{2}} \right) [/tex]

Hva betyr sec igjen? Skal love å gjøre dette med en gang.

[Nebuchadnezzar]

Vi velger en litt sleip substitusjon, nemmlig

[tex]x = 2 \tan u[/tex]

Grunnen til dette er at vi får noen fine forenklinger... kan også utledes om vi ser på derivasjon av inversetrigonometriske funksjoner

Vi deriverer begge sider

[tex]\frac{dx}{du} = 2 \frac{1}{\cos(x)^2}[/tex]

[tex]dx = 2 \frac{1}{\cos(x)^2} du[/tex]

[tex]dx = 2 \ sec(x)^2[/tex]

Så bare bytter vi ut dx, med dette nye uttrykket vårt, forandrer nevneren og forkorter.

[tex]\frac{1}{\cos x} = \sec x[/tex]

Derivasjonen får du tar deg av =)

[Razzy]

Vi velger en litt sleip substitusjon, nemmlig

[tex]x = 2 \tan u[/tex]

Grunnen til dette er at vi får noen fine forenklinger... kan også utledes om vi ser på derivasjon av inversetrigonometriske funksjoner

Vi deriverer begge sider

[tex]\frac{dx}{du} = 2 \frac{1}{\cos(x)^2}[/tex]

[tex]dx = 2 \frac{1}{\cos(x)^2} du[/tex]

[tex]dx = 2 \ sec(x)^2[/tex]

Så bare bytter vi ut dx, med dette nye uttrykket vårt, forandrer nevneren og forkorter.

[tex]\frac{1}{\cos x} = \sec x[/tex]

Derivasjonen får du tar deg av =)

[tex]$$\int {{1 \over {{x^2} + 4}}\;dx} = \int {{1 \over {{x^2} + {2^2}}}\;dx} $$[/tex]

[tex]$$x = 2\tan u \Rightarrow x\prime = {{dx} \over {du}} = 2 \cdot {1 \over {\cos {{(x)}^2}}}$$[/tex]

[tex]$$dx = 2 \cdot {1 \over {\cos {{(x)}^2}}}du \Rightarrow dx = 2\sec {\left( x \right)^2}du$$[/tex]

[tex]$$u = \arctan \left( {{x \over 2}} \right)$$[/tex]

[tex]$$\int {{1 \over {{{\left( {2\tan x} \right)}^2} + {2^2}}}2\sec {{\left( x \right)}^2}du} $$[/tex]

[tex]$$\int {{2 \over 4}{{\sec {{\left( x \right)}^2}} \over {{{\left( {\tan x} \right)}^2} + 1}}du} $$[/tex]

[tex]$${1 \over 2}\int {{{\sec {{\left( x \right)}^2}} \over {\sec {{\left( x \right)}^2}}}du} $$[/tex]

[tex]$${1 \over 2}u + C$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {{1 \over 2}\arctan \left( {{x \over 2}} \right) + C}} $$[/tex]

Må nesten bare begynne å tolke, ser hvertfall to substitusjoner her og at du først velger x som den ukjente for å ende opp med u som ukjent til slutt. Men jeg har aldri brukt SEC, så måtte google og så at det var den inverse til cos x... Kan denneløses uten å bruke sec også? hm, hadde jo vært fancy å kunne dette.

[Nebuchadnezzar]

Trodde du var litt mer dreven i integrasjonsregning. Ikke at jeg ser ned på deg eller noe. Så tok det ganske sjapt.

http://www.youtube.com/watch?v=fD7MbnXbTls

Det vi gjør er at vi tar en invers substitusjon.

Vanligvis velger vi jo substitusjoner for eksempel

u = 5x + 3

osv, men her velger vi at

[tex]x = 2 \tan u[/tex] !

I praksis gjør ikke dette noenhverdens ting. Og det gir litt mening at vi gjør det på denne måten og.

Siden [tex]\frac{1}{x^2+1[/tex]} er den deriverte av den inversetangensfunksjonen.

som jeg skrev er ikke [tex]\sec x[/tex] noe magisk. Den er bare definert som [tex]\frac{1}{\cos x}[/tex]. Mes sannsynlig fordi det er mye raskere å skrive [tex]\sec x[/tex]

en kjekk regel å kunne er at

[tex]\tan(x)^2 + 1 = \sec(x)^2[/tex]

Her bruker jeg konsekvent sec, for å venne deg til denne skrivemåten.
Det er nettopp sammenhengen over som gjør at vi velger substitusjonen vår slik vi gjør. Alternativt kunne vi brukt at

[tex]\frac{d}{dx}\left( \tan x \right) = \tan(x)^2 + 1 [/tex]

Og da får vi nesten det samme
[tex]I = \int {\frac{1}{{{x^2} + {2^2}}}dx} [/tex]

[tex] x = 2\tan u\qquad \Rightarrow \qquad dx = 2\left( {1 + \tan {{\left( x \right)}^2}} \right)du [/tex]

[tex] u = \arctan \left( {\frac{x}{2}} \right) [/tex]

[tex] I = \int {\frac{1}{{{{\left( {2\tan x} \right)}^2} + {2^2}}}2\left( {1 + \tan {{\left( x \right)}^2}} \right)du} [/tex]

[tex] I = \int {\frac{{2\left( {1 + \tan {{\left( x \right)}^2}} \right)}}{{4\tan {{\left( x \right)}^2} + 4}}du} [/tex]

[tex] I = \frac{2}{4}\int {\frac{{1 + \tan {{\left( x \right)}^2}}}{{\tan {{\left( x \right)}^2} + 1}}du} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{2}\int 1 \, du [/tex]

[tex] I = \frac{1}{2}u + C [/tex]

[tex] I = \frac{1}{2}\arctan \left( {\frac{x}{2}} \right) + C [/tex]

Det jeg gjør i tredje linje, er ¨få et uttrykk for u. Slik at vi kan bytte ut u med x, på slutten av integrasjonen. Blir litt dumt om oppgaven gir deg et svar med x, og du sier at svaret ER 5 U!!! ^^

http://www.sosmath.com/calculus/integra ... igsub.html

[Razzy]

Trodde du var litt mer dreven i integrasjonsregning. Ikke at jeg ser ned på deg eller noe. Så tok det ganske sjapt.

http://www.youtube.com/watch?v=fD7MbnXbTls

Det vi gjør er at vi tar en invers substitusjon.

Vanligvis velger vi jo substitusjoner for eksempel

u = 5x + 3

osv, men her velger vi at

[tex]x = 2 \tan u[/tex] !

I praksis gjør ikke dette noenhverdens ting. Og det gir litt mening at vi gjør det på denne måten og.

Siden [tex]\frac{1}{x^2+1[/tex]} er den deriverte av den inversetangensfunksjonen.

som jeg skrev er ikke [tex]\sec x[/tex] noe magisk. Den er bare definert som [tex]\frac{1}{\cos x}[/tex]. Mes sannsynlig fordi det er mye raskere å skrive [tex]\sec x[/tex]

en kjekk regel å kunne er at

[tex]\tan(x)^2 + 1 = \sec(x)^2[/tex]

Her bruker jeg konsekvent sec, for å venne deg til denne skrivemåten.
Det er nettopp sammenhengen over som gjør at vi velger substitusjonen vår slik vi gjør. Alternativt kunne vi brukt at

[tex]\frac{d}{dx}\left( \tan x \right) = \tan(x)^2 + 1 [/tex]

Og da får vi nesten det samme
[tex]I = \int {\frac{1}{{{x^2} + {2^2}}}dx} [/tex]

[tex] x = 2\tan u\qquad \Rightarrow \qquad dx = 2\left( {1 + \tan {{\left( x \right)}^2}} \right)du [/tex]

[tex] u = \arctan \left( {\frac{x}{2}} \right) [/tex]

[tex] I = \int {\frac{1}{{{{\left( {2\tan x} \right)}^2} + {2^2}}}2\left( {1 + \tan {{\left( x \right)}^2}} \right)du} [/tex]

[tex] I = \int {\frac{{2\left( {1 + \tan {{\left( x \right)}^2}} \right)}}{{4\tan {{\left( x \right)}^2} + 4}}du} [/tex]

[tex] I = \frac{2}{4}\int {\frac{{1 + \tan {{\left( x \right)}^2}}}{{\tan {{\left( x \right)}^2} + 1}}du} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{2}\int 1 \, du [/tex]

[tex] I = \frac{1}{2}u + C [/tex]

[tex] I = \frac{1}{2}\arctan \left( {\frac{x}{2}} \right) + C [/tex]

Det jeg gjør i tredje linje, er ¨få et uttrykk for u. Slik at vi kan bytte ut u med x, på slutten av integrasjonen. Blir litt dumt om oppgaven gir deg et svar med x, og du sier at svaret ER 5 U!!! ^^

http://www.sosmath.com/calculus/integra ... igsub.html

Tusen hjertelig takk Nebu, nå skal jeg virkelig sette meg ned å jobbe med dette. Forstod mer når vi ikke bruker sec. (vi har ikke brukt dette på skolen enda, kommer sikkert!) Så takk