spørsmå bevis lhopitals uendelig over uendelig

[gill]

http://planetmath.org/encyclopedia/Proo ... yForm.html

I beviset over lurer jeg på hva a er jeg har skjønt at man bruker cauchys mean value theorem og at x og c da er punktene som gir F=0 og fra cauchy theorem har man at det er et punkt i mellom dem som her kalles
[tex]\xi_x[/tex]

hvorfor man bruker cauchy mean value theorem for lhopitals har jeg spurt om før her og det er forklart her:

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... highlight=

men hva er a her (i første link den andre er bare hvis man lurte på hvor cauchy mean value theorem kom inn i bildet?

[Vektormannen]

a er jo punktet man skal finne grenseverdien i. Eller hva lurer du på om a egentlig? Jeg kan ikke se noe til funksjonen F du nevner?

[gill]

F er funksjonen:

[tex]F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)][/tex]

som fører til at:

[tex]\frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}[/tex]

som de bruker her og (Den het F i beviset i boka mi som den andre tråden linker til beklager at jeg glemte å presisere hva F var)



Takk for hjelp ang. a litt i villrede der et øyeblikk. Jeg lurer på en annen ting

Har prøvd å komme fram til hvorfor

[tex] \lim_{x \to a} \frac{1-g(c)/g(x)}{1-f(c)/f(x)}=1 [/tex] (x)

Forklaringen min som tar utgangspunkt i at x går mot a:

http://bildr.no/view/1012412

Hvis det jeg sier holder mål lurer jeg på om noen vet om en presis defininsjon av lhopitals for uendelig over uendelig sånn at man får definert at den tar utgangspunkt i samme forutsetningene som L'hopitals 0 over 0 som jeg bruker for å forklare (x) i linken min

[Vektormannen]

I forklaringen så klarer jeg ikke å følge argumentasjonen helt. Hvordan viser dette (x)?

Grunnen til at grensen blir 1 er at g(c) og f(c) er konstanter mens [tex]\lim_{x \to a} f(x) = \infty[/tex] og [tex]\lim_{x \to a} g(x) = \infty[/tex]. Da blir [tex]\lim_{x \to a} \frac{1}{f(x)} = 0[/tex], og det samme for g(x).

[gill]

Jeg tenkte hvordan vise at de er konstanter. Hvis den deriverte er definert i alle punkter utenom a så er ikke verdien til funksjonene i punktene utenom a uendelig og dermed er det bare f(a) og g(a) som er uendelig og siden x går mot a går f(x) og g(x) mot uendelig men ikke g(c) og f(c) siden den deriverte er definert der

[Vektormannen]

c er per definisjon et eller annet tall i intervallet [tex](a - \delta, a + \delta)[/tex]. Dette tallet endrer seg ikke etter hva x er, så f(c) og g(c) er også konstante. Du trenger ikke (og kan strengt tatt ikke) bevise at f(c) og g(c) er konstante.

[gill]

men hvordan vet man at f(c) og g(c) ikke er uendelige eller altså et bruddpunkt. Hvis den deriverte er definert i f(c) og g(c) vil ikke den være pluss eller min uendelig som den hadde vært hvis

f(c) eller g(c) var [tex]\infty[/tex] eller [tex]-\infty[/tex]

[Vektormannen]

Det er ikke mulig for en funksjon å ha [tex]\infty[/tex] som en funksjonsverdi! Husk på at [tex]\infty[/tex] ikke er et tall.

[gill]

I beviset benytter de seg av beksrivelsen fixed value for f(c) og g(c) betyr det at den ikke kan være uendelig? Vet det er definert som fast men er uendelig et fast tall eller ikke? Syns det er litt rart at de sier

This is because f(x) og g(x) were assumed to approach [tex]\pm\infty[/tex] when x is close enough to a, they will exceed the fixed value f(c), g(c) and 0.

Exceed betyr overgå et negativt tall kan vel ikke overgå et mindre negativt tall

[Vektormannen]

Igjen: Hvis f(c) eksisterer, kan f(c) da være uendelig? Du kan ikke putte noe inn i en funksjon og få "uendelig" ut.

Poenget her er at f(c) er et eller annet tall. Det kan godt være hundre milliarder, men uansett så forandrer det seg ikke når x går mot a. Det vil si at når f(x) går mot uendelig så vil f(c)/f(x) gå mot 0.

(Det samme for g(c) også)