Matriser 2

[Razzy]

Løsningsforslag:
a)

Vi vet at hvis [tex]$${A^{ - 1}}$$[/tex] skal eksistere, er kravet at [tex]$$\underline {\det \ne 0} $$[/tex].

[tex]$$\left[ {\matrix{0 & 2 & 1 \cr 3 & t & { - 5} \cr 2 & 4 & { - 2} \cr} } \right] = 0 \cdot \left| {\matrix{t & { - 5} \cr 4 & { - 2} \cr } } \right| - 2 \cdot \left| {\matrix{3 & { - 5} \cr 2 & { - 2} \cr } } \right| + 1 \cdot \left| {\matrix{3 & t \cr 2 & 4 \cr } } \right|$$[/tex]

[tex]$$\left[ {\matrix{0 & 2 & 1 \cr 3 & t & { - 5} \cr 2 & 4 & { - 2} \cr } } \right] = - 2\left( { - 6 - \left( { - 10} \right)} \right) + 1 \cdot 12 -2t$$[/tex]

[tex]$$\left[ {\matrix{0 & 2 & 1 \cr 3 & t & { - 5} \cr 2 & 4 & { - 2} \cr} } \right] = - 2 \cdot 4 + 12 - 2t$$[/tex]

[tex]$$\left[ {\matrix{0 & 2 & 1 \cr 3 & t & { - 5} \cr 2 & 4 & { - 2} \cr} } \right] = \underline {4 - 2t} $$[/tex]

[tex]$$4 - 2t = 0$$[/tex] Ved å sette determinanten (uttrykket her) lik null, kan vi finne ut hvilke t-verdier som gir oss null.

[tex]$$2t = 4 \Rightarrow \underline{\underline {t = 2}} $$[/tex]

Når t har verdien 2 er ikke den inverse av matrisen A definert.


b)

Sammenheng: [tex]$$A \cdot B = I$$[/tex]

[tex]$$B = \left[ {\matrix{{ - {5 \over 3}} & { - {4 \over 3}} & {{5 \over 2}} \cr {{2 \over 3}} & {{1 \over 3}} & { - {1 \over 2}} \cr { - {1 \over 3}} & { - {2 \over 3}} & 1 \cr } } \right] \cdot 3$$[/tex]

Vi ganger med 3 for å bli kvitt brøkene i matrisen og får:

[tex]$$B = \left[ {\matrix{{ - 5} & { - 4} & {{{15} \over 2}} \cr 2 & 1 & { - {3 \over 2}} \cr { - 1} & { - 2} & 3 \cr } } \right]$$[/tex]


[tex]$$A \cdot B = \left[ {\matrix{0 & 2 & 1 \cr 3 & 5 & { - 5} \cr 2 & 4 & { - 2} \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{{ - 5} & { - 4} & {{{15} \over 2}} \cr 2 & 1 & { - {3 \over 2}} \cr { - 1} & { - 2} & 3 \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$A \cdot B = \left[ {\matrix{{0 \cdot \left( { - 5} \right) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 1} \right)\;} & {0 \cdot \left( { - 4} \right) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 2} \right)\;} & {0 \cdot {{15} \over 2} + 2 \cdot \left( { - {3 \over 2}} \right) + 1 \cdot 3} \cr{3 \cdot \left( { - 5} \right) + 5 \cdot 2 + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 1} \right)\;} & {3 \cdot \left( { - 4} \right) + 5 \cdot 1 + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 2} \right)\;} & {3 \cdot {{15} \over 2} + 5 \cdot \left( { - {3 \over 2}} \right) + \left( { - 5} \right) \cdot 3} \cr {2 \cdot \left( { - 5} \right) + 4 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right)\;} & {2 \cdot \left( { - 4} \right) + 4 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right)\;} & {2 \cdot {{15} \over 2} + 4 \cdot \left( { - {3 \over 2}} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 3} \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {A \cdot B = \left[ {\matrix{1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr } } \right]}} $$[/tex] og vi ser at: [tex]$$\underline{\underline {A \cdot B = I \Rightarrow A = {B^{ - 1}}\; \wedge \;B = {A^{ - 1}}}} $$[/tex]


c)

[tex]$$A = \left[ {\matrix{0 & 2 & 1 \cr 3 & 5 & { - 5} \cr 2 & 4 & { - 2} \cr } } \right],\;B = \left[ {\matrix{{ - 5} & { - 4} & {{{15} \over 2}} \cr 2 & 1 & { - {3 \over 2}} \cr { - 1} & { - 2} & 3 \cr } } \right],\;X = \left[ {\matrix{x \cr y \cr z \cr } } \right],\;C = \left[ {\matrix{{ - 2} \cr 1 \cr 2 \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$AX = C$$[/tex]

[tex]$${A^{ - 1}} \cdot \left| {AX = C} \right.$$[/tex]

[tex]$${A^{ - 1}} \cdot AX = {A^{ - 1}} \cdot C$$[/tex]

[tex]$$I \cdot X = {A^{ - 1}} \cdot C$$[/tex]

[tex]$$X = {A^{ - 1}} \cdot C$$[/tex]

Vi husker fra forrige deloppgave at: [tex]$$\underline {B = {A^{ - 1}}} $$[/tex]

[tex]$$\left[ {\matrix{x \cr y \cr z \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{ - 5} & { - 4} & {{{15} \over 2}} \cr 2 & 1 & { - {3 \over 2}} \cr { - 1} & { - 2} & 3 \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{{ - 2} \cr 1 \cr 2 \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$\left[ {\matrix{x \cr y \cr z \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{\left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot 1 + {{15} \over 2} \cdot 2} \cr {2 \cdot \left( { - 2} \right) + 1 \cdot 1 + \left( { - {3 \over 2}} \right) \cdot 2} \cr {\left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2} \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$\left[ {\matrix{x \cr y \cr z \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{21} \cr { - 6} \cr 2 \cr } } \right] = \underline{\underline {\left\{ {\matrix{{x = 21} \cr {y = - 6} \cr {z = 2} \cr } } \right.}} $$[/tex]

Kommentar: Dette tok litt tid å føre inn, men jeg var bare nødt! Var en utrolig mestring å komme så langt som jeg har kommet nå; håper jeg ikke har snublet i noe!

[Vektormannen]

Her er det litt småting som er feil. Når du ganger en matrise med en konstant så har du ikke samme matrise lenger! Du får ikke lenger matrisen B, men matrisen 3B. Det må du huske å ta med deg, for det skaper en følgefeil gjennom hele utregningen. I b) så får du ikke identitetsmatrisen når du regner ut. Du får 3 langs diagonalene, ikke 1. Altså får du at [tex]A \cdot 3B = 3I[/tex], som gir (som du skriver) [tex]B = A^{-1}[/tex].

Men i oppgave c) så har du ikke ganget C med B, men med 3B. Da må du huske å skrive [tex]3X = 3B \cdot C[/tex]. Slik det står nå ender opp med x-, y- og z-verdier som er 3 ganger større enn de skal være. Du har også gjort en liten slurvefeil i siste rad når du regnet. Der skal du ende opp med [tex](-1) \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 6[/tex]. Men uansett, setter du inn i systemet så ser du at ligningene ikke oppfylles. Det er som sagt fordi du har funnet [tex]3[x, y, z][/tex] i stedet for [tex][x,y,z][/tex].

[Razzy]

Her er det litt småting som er feil. Når du ganger en matrise med en konstant så har du ikke samme matrise lenger! Du får ikke lenger matrisen B, men matrisen 3B. Det må du huske å ta med deg, for det skaper en følgefeil gjennom hele utregningen. I b) så får du ikke identitetsmatrisen når du regner ut. Du får 3 langs diagonalene, ikke 1. Altså får du at [tex]A \cdot 3B = 3I[/tex], som gir (som du skriver) [tex]B = A^{-1}[/tex].

Men i oppgave c) så har du ikke ganget C med B, men med 3B. Da må du huske å skrive [tex]3X = 3B \cdot C[/tex]. Slik det står nå ender opp med x-, y- og z-verdier som er 3 ganger større enn de skal være. Du har også gjort en liten slurvefeil i siste rad når du regnet. Der skal du ende opp med [tex](-1) \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 6[/tex]. Men uansett, setter du inn i systemet så ser du at ligningene ikke oppfylles. Det er som sagt fordi du har funnet [tex]3[x, y, z][/tex] i stedet for [tex][x,y,z][/tex].

Hei Vektormannen - da ser vi at det lønnet seg å legge ut løsningsforslaget!

Når jeg ganger en matrise med en konstant, får jeg selvfølgelig ikke samme matrise lenger. Fordi jeg må gange begge sider

Har forsøkt å utbedre feilene, har lagt til en kommentar med rød skrift der jeg var litt usikker. Tror du oppgaven burde vært løst med brøker i stedet?

Takk for hjelpen!


rettelse - b)

Sammenheng: [tex]$$A \cdot B = I$$[/tex]

[tex]$$ 3\cdot B = \left[ {\matrix{{ - {5 \over 3}} & { - {4 \over 3}} & {{5 \over 2}} \cr {{2 \over 3}} & {{1 \over 3}} & { - {1 \over 2}} \cr { - {1 \over 3}} & { - {2 \over 3}} & 1 \cr } } \right] \cdot 3$$[/tex]

Vi ganger med 3 for å bli kvitt brøkene i matrisen og får:

[tex]$$ 3B = \left[ {\matrix{{ - 5} & { - 4} & {{{15} \over 2}} \cr 2 & 1 & { - {3 \over 2}} \cr { - 1} & { - 2} & 3 \cr } } \right]$$[/tex]


[tex]$$A \cdot 3B = \left[ {\matrix{0 & 2 & 1 \cr 3 & 5 & { - 5} \cr 2 & 4 & { - 2} \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{{ - 5} & { - 4} & {{{15} \over 2}} \cr 2 & 1 & { - {3 \over 2}} \cr { - 1} & { - 2} & 3 \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$A \cdot 3B = \left[ {\matrix{{0 \cdot \left( { - 5} \right) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 1} \right)\;} & {0 \cdot \left( { - 4} \right) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 2} \right)\;} & {0 \cdot {{15} \over 2} + 2 \cdot \left( { - {3 \over 2}} \right) + 1 \cdot 3} \cr{3 \cdot \left( { - 5} \right) + 5 \cdot 2 + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 1} \right)\;} & {3 \cdot \left( { - 4} \right) + 5 \cdot 1 + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 2} \right)\;} & {3 \cdot {{15} \over 2} + 5 \cdot \left( { - {3 \over 2}} \right) + \left( { - 5} \right) \cdot 3} \cr {2 \cdot \left( { - 5} \right) + 4 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right)\;} & {2 \cdot \left( { - 4} \right) + 4 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right)\;} & {2 \cdot {{15} \over 2} + 4 \cdot \left( { - {3 \over 2}} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 3} \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {A \cdot 3B = \left[ {\matrix{3 & 0 & 0 \cr 0 & 3 & 0 \cr 0 & 0 & 3 \cr } } \right]}} $$[/tex] og vi ser at: [tex]$$\underline{\underline {A \cdot 3B = 3I \Rightarrow A = {B^{ - 1}}\; \wedge \;B = {A^{ - 1}}}} $$[/tex]


rettelse - c)

[tex]$$A = \left[ {\matrix{0 & 2 & 1 \cr 3 & 5 & { - 5} \cr 2 & 4 & { - 2} \cr } } \right],\;3B = \left[ {\matrix{{ - 5} & { - 4} & {{{15} \over 2}} \cr 2 & 1 & { - {3 \over 2}} \cr { - 1} & { - 2} & 3 \cr } } \right],\;3X = \left [ {\matrix{3x \cr 3y \cr 3z \cr } } \right],\;C = \left[ {\matrix{{ - 2} \cr 1 \cr 2 \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$A \cdot 3X = C$$[/tex]

[tex]$${3A^{ - 1}} \cdot \left| {A \cdot 3X = C} \right.$$[/tex]

[tex]$${3A^{ - 1}} \cdot A \cdot 3X = {3A^{ - 1}} \cdot C$$[/tex]

[tex]$$3I \cdot 3X = {3A^{ - 1}} \cdot C$$[/tex]

Ble linjen ovenfor helt riktig?

[tex]$$3X = 3B \cdot C$$[/tex]

Vi husker fra forrige deloppgave at: [tex]$$\underline {B = {A^{ - 1}}} $$[/tex]

[tex]$$\left[ {\matrix{3x \cr 3y \cr 3z \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{ - 5} & { - 4} & {{{15} \over 2}} \cr 2 & 1 & { - {3 \over 2}} \cr { - 1} & { - 2} & 3 \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{{ - 2} \cr 1 \cr 2 \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$\left[ {\matrix{3x \cr 3y \cr 3z \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{\left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot 1 + {{15} \over 2} \cdot 2} \cr {2 \cdot \left( { - 2} \right) + 1 \cdot 1 + \left( { - {3 \over 2}} \right) \cdot 2} \cr {\left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + ({- 2}) \cdot 1 + 3 \cdot 2} \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$\left[ {\matrix{3x \cr 3y \cr 3z \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{21} \cr { - 6} \cr 2 \cr } } \right] \Rightarrow \underline{\underline {\left\{ {\matrix{{x = 7} \cr {y = 2} \cr {z = {2 \over 3}} \cr } } \right.}} $$[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Fælt så tidlig du er oppe da, nei tror ikke disse linjene er helt korrekte

[tex]$$A \cdot 3X = C$$[/tex]

[tex]$${3A^{ - 1}} \cdot \left| {A \cdot 3X = C} \right.$$[/tex]

[tex]$${3A^{ - 1}} \cdot A \cdot 3X = {3A^{ - 1}} \cdot C$$[/tex]

[tex]$$3I \cdot 3X = {3A^{ - 1}} \cdot C$$[/tex]

For det første er det en greit ting å huske at ganging med en skalar(tall) er multiplikativ. Altså at rekkefølgen ikke spiller noen rolle

[tex]AaB = aAB = ABa[/tex]

Der a er en skalar.

Videre så my du huske å gjøre akkuratt det samme på høyre og vestre side, og kanskje snart på tide å lære seg skikkelig latex ikke bare mathtype ^^

[tex]A \cdot 3X = C[/tex]

[tex]A^{-1} A \cdot X 3 = A^{-1} C[/tex]

[tex]3 I \cdot X = A^{-1} C[/tex]

[tex] X =\frac{1}{3} A^{-1} C[/tex]

Der vi husker på at [tex]I X = X I = X[/tex]

Nå kommer jeg for sent til skolen pga deg, din dust :p

[Razzy]

[tex]$$A \cdot B = \left[ {\matrix{0 & 2 & 1 \cr 3 & 5 & { - 5} \cr 2 & 4 & { - 2} \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{{ - {5 \over 2}} & { - {4 \over 3}} & {{5 \over 2}} \cr {{2 \over 3}} & {{1 \over 3}} & { - {1 \over 2}} \cr { - {1 \over 3}} & { - {2 \over 3}} & 1 \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$A \cdot B = \left[ {\matrix{{0 \cdot \left( { - {5 \over 2}} \right) + 2 \cdot {2 \over 3} + 1 \cdot \left( { - {1 \over 3}} \right)\;} & {0 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 2 \cdot {1 \over 3} + 1 \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)\;} & {0 \cdot {5 \over 2} + 2 \cdot \left( { - {1 \over 2}} \right) + 1 \cdot 1} \cr {3 \cdot \left( { - {5 \over 3}} \right) + 5 \cdot {2 \over 3} + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - {1 \over 3}} \right)\;} & {3 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 5 \cdot {1 \over 3} + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)\;} & {3 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 5 \cdot {1 \over 3} + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)} \cr {2 \cdot \left( { - {5 \over 3}} \right) + 4 \cdot {2 \over 3} + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - {1 \over 3}} \right)\;} & {2 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 4 \cdot {1 \over 3} + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)\;} & {2 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 4 \cdot {1 \over 3} + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)} \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {A \cdot B = \left[ {\matrix{1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr } } \right]}} $$[/tex]

Det gikk som smurt med brøker også, så slipper jeg å surre det til senere hvertfall. (som om det ikke er lett å surre det til i klatten ovenfor! )

Fælt så tidlig du er oppe da, nei tror ikke disse linjene er helt korrekte

[tex]$$A \cdot 3X = C$$[/tex]

[tex]$${3A^{ - 1}} \cdot \left| {A \cdot 3X = C} \right.$$[/tex]

[tex]$${3A^{ - 1}} \cdot A \cdot 3X = {3A^{ - 1}} \cdot C$$[/tex]

[tex]$$3I \cdot 3X = {3A^{ - 1}} \cdot C$$[/tex]

For det første er det en greit ting å huske at ganging med en skalar(tall) er multiplikativ. Altså at rekkefølgen ikke spiller noen rolle

[tex]AaB = aAB = ABa[/tex]

Der a er en skalar.

Videre så my du huske å gjøre akkuratt det samme på høyre og vestre side, og kanskje snart på tide å lære seg skikkelig latex ikke bare mathtype ^^

[tex]A \cdot 3X = C[/tex]

[tex]A^{-1} A \cdot X 3 = A^{-1} C[/tex]

[tex]3 I \cdot X = A^{-1} C[/tex]

[tex] X =\frac{1}{3} A^{-1} C[/tex]

Der vi husker på at [tex]I X = X I = X[/tex]

Nå kommer jeg for sent til skolen pga deg, din dust :p

Hehe bare si du hjalp meg, du skal jo bli lærer?


Aha! Altså [tex] X =\frac{1}{3} A^{-1} C[/tex]

[tex]$$X = {1 \over {}}B \cdot C$$[/tex]

(vi har nå forkortet vekk 3 tallene)

Nå forsetter vi bare med å bruke B-matrisen og ikke 3B-matrisen. Flott!

[Razzy]

På grunn av litt rot når jeg ganget matrise B med 3 tidligere, har jeg valgt å la være å gjøre dette.

Resultatet ble:


b)

Sammenheng: [tex]$$A \cdot B = I$$[/tex]

[tex]$$A \cdot B = \left[ {\matrix{0 & 2 & 1 \cr 3 & 5 & { - 5} \cr 2 & 4 & { - 2} \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{{ - {5 \over 3}} & { - {4 \over 3}} & {{5 \over 2}} \cr {{2 \over 3}} & {{1 \over 3}} & { - {1 \over 2}} \cr { - {1 \over 3}} & { - {2 \over 3}} & 1 \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$A \cdot B = \left[ {\matrix{{0 \cdot \left( { - {5 \over 3}} \right) + 2 \cdot {2 \over 3} + 1 \cdot \left( { - {1 \over 3}} \right)\;} & {0 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 2 \cdot {1 \over 3} + 1 \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)\;} & {0 \cdot {5 \over 2} + 2 \cdot \left( { - {1 \over 2}} \right) + 1 \cdot 1} \cr {3 \cdot \left( { - {5 \over 3}} \right) + 5 \cdot {2 \over 3} + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - {1 \over 3}} \right)\;} & {3 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 5 \cdot {1 \over 3} + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)\;} & {3 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 5 \cdot {1 \over 3} + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)} \cr {2 \cdot \left( { - {5 \over 3}} \right) + 4 \cdot {2 \over 3} + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - {1 \over 3}} \right)\;} & {2 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 4 \cdot {1 \over 3} + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)\;} & {2 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 4 \cdot {1 \over 3} + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)} \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {A \cdot B = \left[ {\matrix{1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr } } \right]}} $$[/tex] og vi ser at: [tex]$$\underline{\underline {A \cdot B = I \Rightarrow A = {B^{ - 1}}\; \wedge \;B = {A^{ - 1}}}} $$[/tex]


c)

[tex]$$A = \left[ {\matrix{0 & 2 & 1 \cr 3 & 5 & { - 5} \cr 2 & 4 & { - 2} \cr } } \right],\;B = \left[ {\matrix{{ - {5 \over 3}} & { - {4 \over 3}} & {{5 \over 2}} \cr {{2 \over 3}} & {{1 \over 3}} & { - {1 \over 2}} \cr { - {1 \over 3}} & { - {2 \over 3}} & 1 \cr } } \right],\;X = \left[ {\matrix{x \cr y \cr z \cr } } \right],\;C = \left[ {\matrix{{ - 2} \cr 1 \cr 2 \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$AX = C$$[/tex]

[tex]$${A^{ - 1}} \cdot \left| {AX = C} \right.$$[/tex]

(vi ganger på hver side fra venstre)

[tex]$${A^{ - 1}} \cdot AX = {A^{ - 1}} \cdot C$$[/tex]

[tex]$$I \cdot X = {A^{ - 1}} \cdot C$$[/tex]

[tex]$$X = B \cdot C$$[/tex]

Vi husker fra forrige deloppgave at: [tex]$$\underline {B = {A^{ - 1}}} $$[/tex]

[tex]$$\left[ {\matrix{x \cr y \cr z \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{ - {5 \over 3}} & { - {4 \over 3}} & {{5 \over 2}} \cr {{2 \over 3}} & {{1 \over 3}} & { - {1 \over 2}} \cr { - {1 \over 3}} & { - {2 \over 3}} & 1 \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{{ - 2} \cr 1 \cr 2 \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$\left[ {\matrix{x \cr y \cr z \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{\left( { - {5 \over 3}} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - {4 \over 3}} \right) \cdot 1 + {5 \over 2} \cdot 2} \cr {{2 \over 3} \cdot \left( { - 2} \right) + {1 \over 3} \cdot 1 + \left( { - {1 \over 2}} \right) \cdot 2} \cr {\left( { - {1 \over 3}} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - {2 \over 3}} \right) \cdot 1 + 1 \cdot 2} \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$\left[ {\matrix{x \cr y \cr z \cr } } \right] = \left[ {\matrix{{{7} \cr { - 2} \cr 2 \cr } } \right] = \left\{ {\matrix{{x = {7} \cr {y = - 2} \cr {z = 2} \cr } } \right.$$[/tex]


Kontroll (vi setter inn i likningssettet):

[tex]$$0 \cdot \left( 7 \right) + 2 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( 2 \right) = 2\;OK$$[/tex]

[tex]$$3 \cdot \left( 7 \right) + 5 \cdot \left( { - 2} \right) - 5 \cdot \left( 2 \right) = 1\;OK$$[/tex]

[tex]$$2 \cdot \left( 7 \right) + 4 \cdot \left( { - 2} \right) - 2 \cdot \left( 2 \right) = 2\;OK$$[/tex]


Vi kan nå med trygghet si at:

[tex]$$\underline{\underline {\left\{ {\matrix{{x = 7} \cr {y = - 2} \cr {z = 2} \cr } } \right.}} $$[/tex]

[Vektormannen]

Bra jobbet! Nå stemmer det.

Merk deg at det ikke var feil å bruke 3B. Det gjorde kanskje regningen en del enklere? Hvis du hadde brukt 3B så hadde du endt opp med vektoren 3[x,y,z] = [21,-6,6][/tex] som gir at [tex][x,y,z] = [7,-2,2][/tex].

[mstud]

[tex]$$A \cdot B = \left[ {\matrix{0 & 2 & 1 \cr 3 & 5 & { - 5} \cr 2 & 4 & { - 2} \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{{ - {5 \over 2}} & { - {4 \over 3}} & {{5 \over 2}} \cr {{2 \over 3}} & {{1 \over 3}} & { - {1 \over 2}} \cr { - {1 \over 3}} & { - {2 \over 3}} & 1 \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$A \cdot B = \left[ {\matrix{{0 \cdot \left( { - {5 \over 2}} \right) + 2 \cdot {2 \over 3} + 1 \cdot \left( { - {1 \over 3}} \right)\;} & {0 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 2 \cdot {1 \over 3} + 1 \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)\;} & {0 \cdot {5 \over 2} + 2 \cdot \left( { - {1 \over 2}} \right) + 1 \cdot 1} \cr {3 \cdot \left( { - {5 \over 3}} \right) + 5 \cdot {2 \over 3} + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - {1 \over 3}} \right)\;} & {3 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 5 \cdot {1 \over 3} + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)\;} & {3 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 5 \cdot {1 \over 3} + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)} \cr {2 \cdot \left( { - {5 \over 3}} \right) + 4 \cdot {2 \over 3} + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - {1 \over 3}} \right)\;} & {2 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 4 \cdot {1 \over 3} + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)\;} & {2 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 4 \cdot {1 \over 3} + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)} \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {A \cdot B = \left[ {\matrix{1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr } } \right]}} $$[/tex]

Det gikk som smurt med brøker også, så slipper jeg å surre det til senere hvertfall. (som om det ikke er lett å surre det til i klatten ovenfor! )

Ser ikke helt riktig ut den utregningen din, selv om svaret ditt er korrekt...

I oppgaveteksten sto det [tex]-\frac 53[/tex] i øverste høyre hjørne av matrise B, nå i 2. omgang skriver du [tex]-\frac 52[/tex] Dette fikk ingen konsekvenser for svaret, siden du brukte [tex]-\frac 53[/tex] bortsett fra når du ganget med 0...

For z-koordinatene dine har du copy-and-paste-error i de fleste, vokt Dem for copy and paste-metoden, thi den er farlig!!!

Hvis du hadde brukt dette i utregningen din, ville bl.a. z_2=y_2=1 og ikke 0 som den skal være... z_3=y_3=0, og ikke 1 som den skal være. Din juksemaker som bruker AB som du tror den skal være, og ikke som følger av utregningene dine...

Riktig utregning er:

[tex]$$A \cdot B = \left[ {\matrix{0 & 2 & 1 \cr 3 & 5 & { - 5} \cr 2 & 4 & { - 2} \cr } } \right] \cdot \left[ {\matrix{{ - {5 \over 3}} & { - {4 \over 3}} & {{5 \over 2}} \cr {{2 \over 3}} & {{1 \over 3}} & { - {1 \over 2}} \cr { - {1 \over 3}} & { - {2 \over 3}} & 1 \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$A \cdot B = \left[ {\matrix{{0 \cdot \left( { - {5 \over 3}} \right) + 2 \cdot {2 \over 3} + 1 \cdot \left( { - {1 \over 3}} \right)\;} & {0 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 2 \cdot {1 \over 3} + 1 \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)\;} & {0 \cdot {5 \over 2} + 2 \cdot \left( { - {1 \over 2}} \right) + 1 \cdot 1} \cr {3 \cdot \left( { - {5 \over 3}} \right) + 5 \cdot {2 \over 3} + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - {1 \over 3}} \right)\;} & {3 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 5 \cdot {1 \over 3} + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)\;} & {3 \cdot \left( {5 \over 2} \right) + 5 \cdot {-{1 \over 2}} + \left( { - 5} \right) \cdot \left( {1} \right)} \cr {2 \cdot \left( { - {5 \over 3}} \right) + 4 \cdot {2 \over 3} + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - {1 \over 3}} \right)\;} & {2 \cdot \left( { - {4 \over 3}} \right) + 4 \cdot {1 \over 3} + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right)\;} & {2 \cdot \left( {5 \over 2} \right) + 4 \cdot {- {1 \over 2}} + \left( { - 2} \right) \cdot \left( {1} \right)} \cr } } \right]$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {A \cdot B = \left[ {\matrix{1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr } } \right]}} $$[/tex]

Phuu, det var helt forferdelig å skifte ut noen små tall i math-typekoden din

Fælt så tidlig du er oppe da, nei tror ikke disse linjene er helt korrekte

[tex]$$A \cdot 3X = C$$[/tex]

[tex]$${3A^{ - 1}} \cdot \left| {A \cdot 3X = C} \right.$$[/tex]

[tex]$${3A^{ - 1}} \cdot A \cdot 3X = {3A^{ - 1}} \cdot C$$[/tex]

[tex]$$3I \cdot 3X = {3A^{ - 1}} \cdot C$$[/tex]

For det første er det en greit ting å huske at ganging med en skalar(tall) er multiplikativ. Altså at rekkefølgen ikke spiller noen rolle

[tex]AaB = aAB = ABa[/tex]

Der a er en skalar.

Videre så my du huske å gjøre akkuratt det samme på høyre og vestre side, og kanskje snart på tide å lære seg skikkelig latex ikke bare mathtype ^^

[tex]A \cdot 3X = C[/tex]

[tex]A^{-1} A \cdot X 3 = A^{-1} C[/tex]

[tex]3 I \cdot X = A^{-1} C[/tex]

[tex] X =\frac{1}{3} A^{-1} C[/tex]

Der vi husker på at [tex]I X = X I = X[/tex]

Nå kommer jeg for sent til skolen pga deg, din dust :p

Hehe bare si du hjalp meg, du skal jo bli lærer?


Aha! Altså [tex] X =\frac{1}{3} A^{-1} C[/tex]

[tex]$$X = {1 \over {}}B \cdot C$$[/tex]

(vi har nå forkortet vekk 3 tallene)

Nå forsetter vi bare med å bruke B-matrisen og ikke 3B-matrisen. Flott!

Tror nok det går bedre å bruke B-matrisen framfor 3B-matrisen, ja. Prøv og se

[Razzy]

Trodde jeg la ut utregning jeg

Hadde heldigvis spart på bildene (skriver disse ut til meg selv)






mstud en oppgave er ikke komplett uten at du ser over! Du finner alltid de små feilene Du flink!

[mstud]

Trodde jeg la ut utregning jeg

Hadde heldigvis spart på bildene (skriver disse ut til meg selv)




Holder du fast på feilen fortsatt ? , Utregningen er feil, den gir [tex]A \cdot B=[/tex]

1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
0 0 0 , mens det er 0 0 1 som er korrekt svar,

dette fordi du har tatt verdiene for z_2 og z_3 fra y_2 og y_3. Likte du det så godt at du måtte legge ut den varianten en gang til




mstud en oppgave er ikke komplett uten at du ser over! Du finner alltid de små feilene Du flink!

Tusen takk! Men hva hjelper det når du ikke retter dem?

Jeg vet du vil ha det riktig, så jeg venter...

[Razzy]

Tusen takk! Men hva hjelper det når du ikke retter dem?

Jeg vet du vil ha det riktig, så jeg venter...

Beklager!!






BACK IN BUISINESS!

EDIT: Hvis vi ser bort ifra de to parantesene vi begge tydeligvis har glemt helt til høyre i utregningen av matriseprod

[mstud]

Tusen takk! Men hva hjelper det når du ikke retter dem?

Jeg vet du vil ha det riktig, så jeg venter...

Beklager!!






BACK IN BUISINESS!

Flott!

Nå tror jeg endelig pirkete meg er fornøyd...