Hei.
Har akkurat kommet over definisjonen av supremum norm i Rudin:
Given a metric space [tex]X[/tex], [tex]\mathfrak{C}(X)[/tex] will denote the set of all complex-valued, bounded functions with domain [tex]X[/tex].
We associate with each [tex]f \in \mathfrak{C}(X)[/tex] its supremum norm:
[tex]||f|| = sup_{x \in X}|f(x)|[/tex]
Men er ikke dette egentlig akkurat det samme som en funksjons maks-verdi, med den lille forskjellen at funksjonen her ikke nødvendigvis trenger å nå verdien - den kan ha verdien som en grenseverdi?
Dersom noen kan forklare forskjellen på supremum norm og maksverdi for meg, ville jeg vært takknemlig!
Supremum norm
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det er vell som du sier at den eneste forskjellen at du kan ta en grenseverdi, og at det er absoluttverdi, jeg kommer ikke fram til noen andre forskjeller, må det være det? Grunnen til at det kalles en norm er at en norm har endel egenskaper, og vi kan arbeide med dem i forhold til andre normer.
Supremum og maksimum er to ulike begreper.
La M være den åpne mengden (0,1), altså det åpne enhetsintervallet i R.
Da er sup(M)=1, mens max(M) ikke fins. Maksimumet må altså selv være et element i mengden, mens supremum er definert som den minste verdien som er større enn alle elementene i M.
Har vi begrensede kontinuerlige funksjoner definert på et åpent intervall, f.eks. f: (0,1)->R, vil de "fleste" av disse ikke ha noe maksimum (f.eks. i de tilfellene når de ikke har noen lokale ekstremalpunkt), selv om supremum vil kunne eksistere. Derfor er det hensiktsmessig å bruke supremum og ikke maksimum når vi definerer normen. (siden vi ønsker å kunne finne normen til alle funksjonene i rommet)
La M være den åpne mengden (0,1), altså det åpne enhetsintervallet i R.
Da er sup(M)=1, mens max(M) ikke fins. Maksimumet må altså selv være et element i mengden, mens supremum er definert som den minste verdien som er større enn alle elementene i M.
Har vi begrensede kontinuerlige funksjoner definert på et åpent intervall, f.eks. f: (0,1)->R, vil de "fleste" av disse ikke ha noe maksimum (f.eks. i de tilfellene når de ikke har noen lokale ekstremalpunkt), selv om supremum vil kunne eksistere. Derfor er det hensiktsmessig å bruke supremum og ikke maksimum når vi definerer normen. (siden vi ønsker å kunne finne normen til alle funksjonene i rommet)
