Faktorisering av polynomer

[Nebuchadnezzar]

Kan et polynom av vilkårlig grad, alltid skrives som et produkt av første og andregrads polynomer?

[svinepels]

Hvis graden er mer enn 2, må det jo være mulig. Et polynom av grad n>2 har alltid n røtter (komplekse eller reelle), så vi kan da skrive det som n førstegradsuttrykk ganget med hverandre. Om vi da multipliserer to av disse førstegradsuttrykkene sammen til et andregradsuttrykk, har vi et polynom av både førstegrads- og andregradsuttrykk.

[Nebuchadnezzar]

Mente der alle koeffisienten er reellle

Men tror det skal stemme ja =)

[Vektormannen]

Anta at polynomet har grad [tex]n \geq 3[/tex]. Da har det som svinepels sier nøyaktig n røtter, som kan være komplekse eller reelle. Dvs. at det er et produkt av n førstegradsfaktorer. Enten er alle førstegradsfaktorene reelle. I såfall kan du ta to av dem og multiplisere til et andregradspolynom med reelle koeffisienter. Dersom ikke alle førstegradsfaktorene er reelle så opptrer de komplekse faktorene parvis. Dette er fordi dersom [tex]P(z_0) = 0[/tex] så er også [tex]P(\bar{z_0}) = 0[/tex]. Da kan man ta hvert par av faktorene [tex](x-z_i)[/tex] og [tex](x-\bar{z_i})[/tex] og multiplisere dem sammen. Da får vi

[tex](x-z_i)(x-\bar{z_i}) = x^2 - (z_i + \bar{z_i})x + z_i \bar{z_i} = x^2 - 2 \text{Re}(z_i) \cdot x + |z_i|^2[/tex].

Koeffisientene i dette polynomet er reelle.

[tex]\bar z[/tex] betyr den komplekskonjugerte av [tex]z[/tex], som er definert ved at [tex]\bar{a + bi} = a - bi[/tex].

[wingeer]

Ikke nødvendigvis. Det spørs hvilken polynomkropp du jobber over.
Hvis alle koeffisientene skal være reelle vil polynomet:
[tex]p(x)=x^2+1[/tex] være irredusibelt over R. Dette fordi p(x) ikke har røtter i R.

Endring: Leste feil i førstepost.