Diff.lign 2

[Razzy]

Jeg prøver meg: Dette er av typeen 2. ordens inhomogen diff.lign med konstante koeffisienter


For å løse denne må jeg først løse den tilhørende homogene lign:

[tex]$$y^{\prime \prime } + 9y = 0$$[/tex]

Her blir den karakteristiske ligningen:

[tex]$${\lambda ^2} + 9 = 0$$[/tex]


... So far so good?

Lurte litt på når jeg kommer til å bruke den integrerende faktor, dvs når vil det være en fordel å bruke denne? Har dere en forklaring på det?

Kan den brukes her?

[mstud]

Enig så langt, ja. Riktig klassifisering, ser det ut for


Generelt brukes vel mest integrerende faktor på 1. ordens diff eq, men du kan f.eks. se: http://en.wikipedia.org/wiki/Integratin ... eneral_use og mere fancy: http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q= ... gaxbAuZU9g

Kan den brukes her... godt spørsmål, hehe

Det er vel gjerne ikke det enkleste i hvert fall...

[mstud]

Og husk at den karakteristiske ligningen [tex]\lambda ^2+9=0[/tex] har ingen reelle løsninger, men den har komplekse røtter... Da er løsningsformelen en litt annen, har du den i boken?

[Razzy]

Løsningsforslag:


[tex]$$y^{\prime \prime } + 9y = 18$$[/tex] og [tex]$$y\left( 0 \right) = 0,\;\;y^\prime \left( 0 \right) = 3$$[/tex]


For å løse denne må jeg først løse den tilhørende homogene ligning, for dette er som sagt en inhomogen diff.lign og den har sin generelle løsning: [tex]$$y\left( x \right) = {y_h} + {y_p}$$[/tex]


[tex]$$y^{\prime \prime } + 9y = 0$$[/tex]

Her blir den karakteristiske ligningen:

[tex]$${\lambda ^2} + 9 = 0$$[/tex]

[tex]$$\lambda = \pm \sqrt 9 = \pm 3$$[/tex]

[tex]$$\underline {{y_h}\left( x \right) = {C_1}{e^{3x}} + {C_2}{e^{ - 3x}}} $$[/tex]


[tex]$${y_h}\left( 0 \right) = 0$$[/tex]

[tex]$${C_1}{e^{3 \cdot 0}} + {C_2}{e^{ - 3 \cdot 0}} = 0$$[/tex]

[tex]$$1.\;\;{C_1} + {C_2} = 0$$[/tex]


[tex]$${{y^\prime }_h} = 3{C_1}{e^{3x}} - 3{C_2}{e^{ - 3x}}$$[/tex]

[tex]$${{y^\prime}_h}\left( 0 \right) = 3$$[/tex]

[tex]$$3{C_1}{e^{3 \cdot 0}} - 3{C_2}{e^{ - 3 \cdot 0}} = 3$$[/tex]

[tex]$$2.\;\;3{C_1} - 3{C_2} = 3\;\;\left| { \cdot {1 \over 3}} \right.$$[/tex]

[tex]$${C_1} - {C_2} = 1$$[/tex]

[tex]$$2{C_1} = 1 \Rightarrow {C_1} = {1 \over 2}$$[/tex]

[tex]$$Innsatt\;i\;1:\;\;{1 \over 2} + {C_2} = 0 \Rightarrow {C_2} = - {1 \over 2}$$[/tex]

[tex]$$\underline {{y_h}\left( x \right) = {1 \over 2}{e^{3x}} - {1 \over 2}{e^{ - 3x}}} $$[/tex]

Nå gjelder det bare å finne den partielle løsningen og sette det inn i: [tex]$$y\left( x \right) = {y_h} + {y_p}$$[/tex]

[mstud]

Nei, dessverre... nå tenker du litt feil her...

hadde du hatt karakteristisk ligning
[tex]\lambda ^2-9=0[/tex] ville dette vært løsningen,

men du har [tex]\lambda ^2 +9=0, og da er \lambda ^2=-9[/tex] og du kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall og få reelle løsninger...

[Razzy]

Og husk at den karakteristiske ligningen [tex]\lambda ^2+9=0[/tex] har ingen reelle løsninger, men den har komplekse røtter... Da er løsningsformelen en litt annen, har du den i boken?

[tex]$$\lambda = \pm \sqrt 9 = \pm 3$$[/tex] ?

Ja jeg har det i boken om jeg skulle få negativt under rottegnet når jeg regner ut ABC-formelen Da skriver man feks bare: [tex]$$\sqrt { - 9} = \sqrt 9 \cdot \sqrt { - 1} = 3i$$ [/tex]

Den allmenne løsningen blir da: [tex]$$y\left( x \right) = {e^{\alpha x}}\left( {A\cos \beta + B\sin \beta } \right)$$[/tex]

EDIT: D'OH! Ser hva du skriver nå mstud - det er typisk meg å klare å gjøre en slik feil når jeg konsenterer meg om selve oppgaven og ikke det tekniske (tydeligvis)...

Må løpe på skolen, tar den når jeg kommer hjem. Da skal oppgaven gruses

[mstud]

Det er den formelen du må bruke her, siden [tex]\lambda ^2 +9=0 \Leftrightarrow \lambda^2=-9,\ som \ ville \ gi \ \lambda=\sqrt{-9}[/tex] du har tenkt som om det sto [tex]\lambda ^2-9=0[/tex], men du har et plusstegn der og ikke en minus, derfor, hiv deg på abc-formelen og kompleks løsning av [tex]\lambda^2+9=0[/tex] dvs. a=1 og b=0, og c=9... gir: [tex]\lambda=\frac {0 \pm \sqrt{0^2 -4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}=\frac {\pm \sqrt{-36}}2=\frac {\pm \sqrt{36} \cdot \sqrt{-1}}2=\frac{\pm 6i}2 = \pm 3i[/tex]

Kom igjen, lykke til med grusingen når du kommer hjem

[Razzy]

Det er den formelen du må bruke her, siden [tex]\lambda ^2 +9=0 \Leftrightarrow \lambda^2=-9,\ som \ ville \ gi \ \lambda=\sqrt{-9}[/tex] du har tenkt som om det sto [tex]\lambda ^2-9=0[/tex], men du har et plusstegn der og ikke en minus, derfor, hiv deg på abc-formelen og kompleks løsning av [tex]\lambda^2+9=0[/tex] dvs. a=1 og b=0, og c=9... gir: [tex]\lambda=\frac {0 \pm \sqrt{0^2 -4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}=\frac {\pm \sqrt{-36}}2=\frac {\pm \sqrt{36} \cdot \sqrt{-1}}2=\frac{\pm 6i}2 = \pm 3i[/tex]


Kom igjen, lykke til med grusingen når du kommer hjem

Jeg droppet å bruke ABC-formelen, tror det gikk bra, men det er nok mye annet som kanskje ikke gikk såå bra


Løsningsforslag 2:


[tex]$$y^{\prime \prime } + 9y = 18$$[/tex] og [tex]$$\;y\left( 0 \right) = 0,\;\;y^\prime \left( 0 \right) = 3$$[/tex]


For å løse denne må jeg først løse den tilhørende homogene ligning, for dette er som sagt en inhomogen diff.lign og den har sin generelle løsning: [tex]$$y\left( x \right) = {y_h} + {y_p}$$[/tex]

[tex]$$y^{\prime \prime } + 9y = 0$$[/tex]

Her blir den karakteristiske ligningen:

[tex]$${\lambda ^2} + 9 = 0$$[/tex]

[tex]$$\lambda= \pm \sqrt { - 9} = \pm \sqrt 9 \cdot \sqrt { - 1} = \pm 3i$$[/tex]

Vi bruke regelene:

[tex]$${\lambda _{1,2}} = \alpha \pm \beta i \;$$[/tex] og [tex]$$\; y\left( x \right) = {e^{\alpha x}}\left( {A\cos \beta x + B\sin \beta x } \right)$$[/tex]

Og får:

[tex]$${y_h}\left( x \right) = {e^{0 \cdot x}}\left( {A\cos 3x + B\sin 3x} \right)$$[/tex]

[tex]$$\underline {{y_h}\left( x \right) = A\cos 3x + B\sin 3x} $$[/tex]

Nå kan det hende jeg gjør en feil, men jeg bruker opplysningene gitt med i oppgaven og setter disse inn. (det kan hende disse er tilegnet den generelle løsning og ikke den homogene)


[tex]$${y_h}\left( 0 \right) = 0$$[/tex]

[tex]$$A\cos 3 \cdot 0 + B\sin 3 \cdot 0 = 0$$[/tex]

[tex]$$A \cdot 1 + 0 = 0 \Rightarrow A = 0$$[/tex]


[tex]$${{y^\prime}_h}\left( x \right) = - 3A\sin 3x + 3B\cos 3x$$[/tex]

[tex]$${{y^\prime}_h}\left( 0 \right) = 3$$[/tex]

[tex]$$ - 3A\sin 3 \cdot 0 + 3B\cos 3 \cdot 0 = 3$$[/tex]

[tex]$$0 + 3B = 3 \Rightarrow B = {3 \over 3} = 1$$[/tex]

[tex]$${y_h}\left( x \right) = 0 \cdot \cos 3x + 1 \cdot \sin 3x$$[/tex]

[tex]$$\underline {{y_h}\left( x \right) = \sin 3x} $$[/tex]


Aner ugler i mosen her, tror ikke jeg burde gjort dette.

Jeg fortsetter og finner den partikulære løsningen ved å velge:

[tex]$${y_p} = Ax + B$$[/tex]

Dette er valgt ut ifra H.S, men det kan være feil å velge dette, ettersom det ikke er noen variabler på H.S.

[tex]$${{y^\prime}_p} = A$$[/tex]

[tex]$${{y^{\prime \prime }}_p} = 0$$[/tex]

[tex]$${\rm{Innsatt gir dette:}}$$[/tex]

[tex]$${\rm{0 + 9}} \cdot \left( {Ax + B} \right) \equiv 18$$[/tex]

[tex]$$9AX + 9B \equiv 18$$[/tex]


[tex]$${\rm{Sammenligning:}}$$[/tex]

[tex]$$x: \;9A = 0 \Rightarrow A = 0$$[/tex]

[tex]$$Kons\tan tene:\;9B = 18 \Rightarrow B = {{18} \over 9} = 2$$[/tex]


[tex]$${\rm{Satt inn i den partikulaere ligning:}}$$[/tex]

[tex]$${y_p}\left( x \right) = 0 \cdot x + 2 = 2$$[/tex]


[tex]$${\rm{Generell losning:}}$$[/tex]

[tex]$$y\left( x \right) = {y_h} + {y_p}$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {y\left( x \right) = \sin 3x + 2}} $$[/tex]


Kommentar: Jeg aner at denne løsningen ikke er helt korrekt. Kanskje det eneste jeg klarte å gruse var meg selv? Ikke en overraskelse!

[mstud]

[tex]y_h (x)=Acos(3x)+Bsin(3x)[/tex] er i alle fall helt korrekt.

Tror forøvrig du tok med en til i grusingen

Jeg ser nemlig ikke helt hva du har tenkt/gjort her i forhold til det som ville vært korrekt...

[Razzy]

Ståa: Løsningsforslag 2:


[tex]$$y^{\prime \prime } + 9y = 18$$[/tex] og [tex]$$\;y\left( 0 \right) = 0,\;\;y^\prime \left( 0 \right) = 3$$[/tex]


For å løse denne må jeg først løse den tilhørende homogene ligning, for dette er som sagt en inhomogen diff.lign og den har sin generelle løsning: [tex]$$y\left( x \right) = {y_h} + {y_p}$$[/tex]

[tex]$$y^{\prime \prime } + 9y = 0$$[/tex]

Her blir den karakteristiske ligningen:

[tex]$${\lambda ^2} + 9 = 0$$[/tex]

[tex]$$\lambda= \pm \sqrt { - 9} = \pm \sqrt 9 \cdot \sqrt { - 1} = \pm 3i$$[/tex]

Vi bruke regelene:

[tex]$${\lambda _{1,2}} = \alpha \pm \beta i \;$$[/tex] og [tex]$$\; y\left( x \right) = {e^{\alpha x}}\left( {A\cos \beta x + B\sin \beta x } \right)$$[/tex]

Og får:

[tex]$${y_h}\left( x \right) = {e^{0 \cdot x}}\left( {A\cos 3x + B\sin 3x} \right)$$[/tex]

[tex]$$\underline {{y_h}\left( x \right) = A\cos 3x + B\sin 3x} $$[/tex]

Her er det bare å si stopp! Initinalverdiene skal ikke settes inn her, men de skal settes inn etter at den generelle løsningen er funnet.



Jeg klarer ikke å bestemme den partikulære løsningen på grunn av at høyre siden ikke inneholder noen x!



Slik vi har tenkt til nå er i hvertfall rett i utgangspunktet; og jeg har en liten aning om at oppgaven mangler en x på H.S eller at vi har gjort oppgaven mer komplisert enn nødvendig (dette gjør jeg nesten alltid)

[tex]$${{y_h}\left( x \right) = A\cos 3x + B\sin 3x} $$[/tex] er i alle fall helt korrekt.

Tror forøvrig du tok med en til i grusingen

Beklager dette, lover å rydde opp rotet jeg har laget her Er denne eksamensrelevant for deg også?

[mstud]

er ikke helt sikker på veien videre...

Les "Example 4" i http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... ients.aspx , du også.

Ser i alle fall der at det er korrekt å si at [tex]y_p(x)=Ax+B[/tex], slik du foreslo over.

Da gjenstår det å finne verdiene av A-ene og B-ene våre. Pluss at opprinnelig H.S.=18 brukes...

Deriver y=Ax+B, og sett inn i y''+9y=18, for å finne verdiene av A og B. Bruk så de oppgitte verdiene av y(0) og y'(0) til å finne A og B. Det er det jeg sitter igjen med etter å ha lest "Example 4", er du enig?

[Razzy]

er ikke helt sikker på veien videre...

Les "Example 4" i http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... ients.aspx , du også.

Ser i alle fall der at det er korrekt å si at [tex]y_p(x)=Ax+B[/tex], slik du foreslo over.

Da gjenstår det å finne verdiene av A-ene og B-ene våre. Pluss at opprinnelig H.S.=18 brukes...

Deriver y=Ax+B, og sett inn i y''+9y=18, for å finne verdiene av A og B. Bruk så de oppgitte verdiene av y(0) og y'(0) til å finne A og B. Det er det jeg sitter igjen med etter å ha lest "Example 4", er du enig?

Jeg tror etter å ha lest et annet skriv på nettet At vi først skal sette inn initialbetingelsene etter at vi har funnet den generelle løsningen (i dette tilfellet y_h + y_p siden det er en inhomogen diff.lign)

Hvis det er dette du mener, er jeg helt enig.



Kilde: http://www.google.no/url?sa=t&rct=j&q=i ... Xw&cad=rja

Men men mstud, len deg tilbake i stolen. Og kos deg med at vi diskuterer ganske komplisert matematikk her

hm... Gjelder bare å finne ut hva vi gjør med den H.S... Må jeg virkelig spørre foreleseren

[Vektormannen]

Som Razzy har påpekt ovenfor så er det ikke noe poeng i å tippe på partikulærløsningen y = Ax + B, siden det ikke er noen variabel på høyre side. Det blir ikke galt å tippe på det, men man ender opp med at A = 0, slik Razzy fikk. Det er altså kun en konstant som kan være partikulærløsningen, og den blir her 2 (som regnet ut ovenfor), og det ser vi må stemme:

[tex]y^{\prime \prime} + 9y = (\sin(3x) + 2)^{\prime \prime} + 9(\sin(3x) + 2) = -9\sin(3x) + 9(\sin(3x) + 2) = 9 \cdot 2 = 18[/tex]

[mstud]

er ikke helt sikker på veien videre...

Les "Example 4" i http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... ients.aspx , du også.

Ser i alle fall der at det er korrekt å si at [tex]y_p(x)=Ax+B[/tex], slik du foreslo over.

Da gjenstår det å finne verdiene av A-ene og B-ene våre. Pluss at opprinnelig H.S.=18 brukes...

Deriver y=Ax+B, og sett inn i y''+9y=18, for å finne verdiene av A og B. Bruk så de oppgitte verdiene av y(0) og y'(0) til å finne A og B. Det er det jeg sitter igjen med etter å ha lest "Example 4", er du enig?

Jeg tror etter å ha lest et annet skriv på nettet At vi først skal sette inn initialbetingelsene etter at vi har funnet den generelle løsningen (i dette tilfellet y_h + y_p siden det er en inhomogen diff.lign)

Hvis det er dette du mener, er jeg helt enig.



Kilde: http://www.google.no/url?sa=t&rct=j&q=i ... Xw&cad=rja

Men men mstud, len deg tilbake i stolen. Og kos deg med at vi diskuterer ganske komplisert matematikk her

hm... Gjelder bare å finne ut hva vi gjør med den H.S... Må jeg virkelig spørre foreleseren

Ser at [tex]y_p[/tex] du fant til å begynne med er riktig, men A og B i y_p er jeg ikke sikker på om du kan ta slik du gjorde.

Ser slik Vektormannen nå kom med at den blir 2 ...

Lene meg tilbake i stolen? hehe. Spørs om Vektormannen er enig i at dette er komplisert, da...

Flott med utenforstående uttalelse. og av en (ovenforstående) i matematikk

[Razzy]

Som Razzy har påpekt ovenfor så er det ikke noe poeng i å tippe på partikulærløsningen y = Ax + B, siden det ikke er noen variabel på høyre side. Det blir ikke galt å tippe på det, men man ender opp med at A = 0, slik Razzy fikk. Det er altså kun en konstant som kan være partikulærløsningen, og den blir her 2 (som regnet ut ovenfor), og det ser vi må stemme:

[tex]y^{\prime \prime} + 9y = (\sin(3x) + 2)^{\prime \prime} + 9(\sin(3x) + 2) = -9\sin(3x) + 9(\sin(3x) + 2) = 9 \cdot 2 = 18[/tex]

Å kontrollere løsningen sin - viktig.

Hvordan ville du vist hva den partikulære løsningen blir uten å gjøre slik jeg var nødt til nedenfor?

Legg forresten merke til at jeg har lagt inn initinalgrensene i den generelle løsningen - gikk som bare det.


Det litt mer korrekte løsningsforslag:


[tex]$$y^{\prime \prime } + 9y = 18$$[/tex] og [tex]$$\;y\left( 0 \right) = 0\;, \;y^\prime \left( 0 \right) = 3$$[/tex]


For å løse denne må jeg først løse den tilhørende homogene ligning, for dette er som sagt en inhomogen diff.lign og den har sin generelle løsning: [tex]$$y\left( x \right) = {y_h} + {y_p}$$[/tex]

[tex]$$y^{\prime \prime } + 9y = 0$$[/tex]

Her blir den karakteristiske ligningen:

[tex]$${\lambda ^2} + 9 = 0$$[/tex]

[tex]$$\lambda= \pm \sqrt { - 9} = \pm \sqrt 9 \cdot \sqrt { - 1} = \pm 3i$$[/tex]

Vi bruke regelene:

[tex]$${\lambda _{1,2}} = \alpha \pm \beta i \;$$[/tex] og [tex]$$\; y\left( x \right) = {e^{\alpha x}}\left( {A\cos \beta x + B\sin \beta x } \right)$$[/tex]

Og får:

[tex]$${y_h}\left( x \right) = {e^{0 \cdot x}}\left( {A\cos 3x + B\sin 3x} \right)$$[/tex]

[tex]$$\underline {{y_h}\left( x \right) = A\cos 3x + B\sin 3x} $$[/tex]

Til forskjell fra istad, stopper vi her og finner nå den partikulære løsningen

[tex]$${y_p} = Ax + B$$[/tex]

Dette er valgt ut ifra H.S, men det er en litt omstendelig måte å gjøre dette på, ettersom det ikke er noen variabler på H.S. Vi kan gjøre dette fordi vi vet at x-sen vil falle - dette vil identisktlik tegnet sørge for: [tex]$$ (\equiv) $$[/tex]

[tex]$${{y^\prime}_p} = A$$[/tex]

[tex]$${{y^{\prime \prime }}_p} = 0$$[/tex]

[tex]$${\rm{Innsatt gir dette:}}$$[/tex]

[tex]$${\rm{0 + 9}} \cdot \left( {Ax + B} \right) \equiv 18$$[/tex]

[tex]$$9AX + 9B \equiv 18$$[/tex]


[tex]$${\rm{Sammenligning:}}$$[/tex]

[tex]$$x: \;9A = 0 \Rightarrow A = 0$$[/tex]

[tex]$$Kons\tan tene:\;9B = 18 \Rightarrow B = {{18} \over 9} = 2$$[/tex]


[tex]$${\rm{Satt inn i den partikulaere ligning:}}$$[/tex]

[tex]$${y_p}\left( x \right) = 0 \cdot x + 2 = 2$$[/tex]

[tex]$${y_p}\left( x \right) = 2$$[/tex]


[tex]$${\rm{Generell losning:}}$$[/tex]

[tex]$$y\left( x \right) = {y_h} + {y_p}$$[/tex]

[tex]$$\underline {y\left( x \right) = A\cos 3x + B\sin 3x + 2} $$[/tex]

Det er først nå vi kan sette inn initinalverdiene: [tex]y\left( 0 \right) = 0,\; og \;y^\prime \left( 0 \right) = 3[/tex]


[tex]$$y\left( 0 \right) = 0$$[/tex]

[tex]$$A\cos 3 \cdot 0 + B\sin 3 \cdot 0 + 2 = 0$$[/tex]

[tex]$$A \cdot 1 + 2 = 0 \Rightarrow A = 2$$[/tex]


[tex]$$y^\prime \left( x \right) = - 3A\sin 3x + 3B\cos 3x$$[/tex]

[tex]$$y^\prime \left( 0 \right) = 3$$[/tex]

[tex]$$ - 3 \cdot 2\sin 3 \cdot 0 + 3B\cos 3 \cdot 0 = 3$$[/tex]

[tex]$$0 + 3B \cdot 1 = 3 \Rightarrow B = {3 \over 3} = 1$$[/tex]


[tex]Spesiell \; losning:[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {y\left( x \right) = 2\cos 3x + \sin 3x + 2}} $$[/tex]


[tex]$$Kont: \;y^{\prime \prime } + 9y = 18$$[/tex]

[tex]$${\left( {2\cos 3x + \sin 3x + 2} \right)^{\prime \prime }} + 9 \cdot \left( {2\cos 3x + \sin 3x + 2} \right) = 18$$[/tex]

[tex]$$ - 18\cos 3x - 9\sin 3x + 18\cos 3x + 9\sin 3x + 18 = 18$$[/tex]


Kommentar: Med stor takk til mstud og Vektormannen kom oppgaven til slutt i havn, hvis vi ser bort ifra at fremgangsmåten med å finne den partikulære løsningen var litt vel omstendelig.