Oppgave 9.1.22
La [tex]\: I_{n}=\int sin^{n}(x) dx \:[/tex]
c)Vis at [tex]\: I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}-\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]
Kan noen vise hvordan løsningen blir?
Vis at
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
Sist redigert av Integralen den 08/11-2011 19:20, redigert 8 ganger totalt.
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
%..
Sist redigert av Integralen den 08/11-2011 19:15, redigert 1 gang totalt.
Nei, jeg mener slik:
[tex]\sin^nx=(1-\cos^2x)\sin^{n-2}x[/tex]
Derfor får vi (bekreft dette):
[tex]I_n=I_{n-2}-\int cos^2x\sin^{n-2}x\rm{d}x=I_{n-2} - K[/tex]
Bruk delvis integrasjon på K:
[tex]u=\cos\,x \, , \, v=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x[/tex]
[tex]K=\frac{1}{n-1}\cos\,x\sin^{n-1}x + \frac{1}{n-1}\int \sin^nx[/tex]
Jeg lar deg ta det herfra.
[tex]\sin^nx=(1-\cos^2x)\sin^{n-2}x[/tex]
Derfor får vi (bekreft dette):
[tex]I_n=I_{n-2}-\int cos^2x\sin^{n-2}x\rm{d}x=I_{n-2} - K[/tex]
Bruk delvis integrasjon på K:
[tex]u=\cos\,x \, , \, v=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x[/tex]
[tex]K=\frac{1}{n-1}\cos\,x\sin^{n-1}x + \frac{1}{n-1}\int \sin^nx[/tex]
Jeg lar deg ta det herfra.
Sist redigert av espen180 den 07/11-2011 19:33, redigert 1 gang totalt.
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
%"
Sist redigert av Integralen den 08/11-2011 19:16, redigert 1 gang totalt.
Jo, det skal det visst. Min feil.Integralen skrev:men du espen, skal det ikke være + det siste leddet og ikke minus i K, siden cosx derivert lik -sinx.
Nei, her tar du nok feil. Alt jeg har gjort er å bruke at [tex]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]Integralen skrev: og en annen ting, er det ikke slik ligningen skal være:
[tex]sin^{n}(x)=(1-cos^2(x)) \frac{n-1}{n}sin^{n-2}(x)[/tex]
[tex]I_{n}=sin^{n}(x)=\frac{n-1}{n}sin^{n-2}(x)-sin^{n-2}(x)cos^2(x)-\frac{1}{n}sin^{n-2}(x)cos^2(x)[/tex]
Istedenfor:
[tex]sin^{n}(x)=(1-cos^2(x))sin^{n-2}(x)[/tex]
for å vise at :
[tex]I_{n}=sin^{n}(x)=\frac{n-1}{n} I_{n-2}-\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]
?
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
da får jeg:
[tex]I_{n}=I_{n-2}-K[/tex]
1.
[tex]I_{n}=I_{n-2}-\frac{cos{x}}{n-1}sin^{n-1}(x)-\frac{1}{n-1} \int sin^{n}(x)dx[/tex]
men vi skulle jo vise at:
2.
[tex]I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2} -\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]
[tex]I_{n}=I_{n-2}-K[/tex]
1.
[tex]I_{n}=I_{n-2}-\frac{cos{x}}{n-1}sin^{n-1}(x)-\frac{1}{n-1} \int sin^{n}(x)dx[/tex]
men vi skulle jo vise at:
2.
[tex]I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2} -\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]
Sist redigert av Integralen den 10/11-2011 09:41, redigert 2 ganger totalt.
Har du prøvd å sammenligne selv?Integralen skrev:da får jeg:
[tex]I_{n}=I_{n-2}-K[/tex]
[tex]I_{n}=I_{n-2}-\frac{cos{x}}{n-1}sin^{n-1}(x)-\frac{1}{n-1} \int sin^{n}(x)dx[/tex]
men vi skulle jo vise at:
[tex]I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2} -\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]
Og disse to over er jo ikke like?
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
"%
Sist redigert av Integralen den 09/11-2011 12:39, redigert 1 gang totalt.
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
1.
[tex]I_{n}=I_{n-2}-\frac{cos{x}}{n-1}sin^{n-1}(x)-\frac{1}{n-1} \int sin^{n}(x)dx[/tex]
2.
[tex]I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2} -\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]
For de som er interessert: for å vise at 1. er lik 2. går vi fram slik:
Hva står foran [tex]\: I_{n-2} \:[/tex] i 2. Jo, der står det: [tex]\: \frac{n-1}{n} \:[/tex], så man ganger rett og slett med dette for alle ledd i 1. og får:
[tex]\frac{n-1}{n}I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}-\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)-\frac{1}{n}I_{n}[/tex]
[tex]I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2} -\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]
q.e.d
[tex]I_{n}=I_{n-2}-\frac{cos{x}}{n-1}sin^{n-1}(x)-\frac{1}{n-1} \int sin^{n}(x)dx[/tex]
2.
[tex]I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2} -\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]
For de som er interessert: for å vise at 1. er lik 2. går vi fram slik:
Hva står foran [tex]\: I_{n-2} \:[/tex] i 2. Jo, der står det: [tex]\: \frac{n-1}{n} \:[/tex], så man ganger rett og slett med dette for alle ledd i 1. og får:
[tex]\frac{n-1}{n}I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}-\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)-\frac{1}{n}I_{n}[/tex]
[tex]I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2} -\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]
q.e.d