Takk for tipset.
Har knotet litt rundt med uttrykket, men klarer ikke å vise at uttrykket er mindre enn eller lik [tex]\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex].
Hva er det som forøvrig er galt i mitt resonnement over?
Må si du har en virkelig imponerende utdannelse! Hva er motivasjonen din for å ta master i matematikk når du allerede har siv.ing grad i teknisk fysikk? Er det kun interesse? Og er det ren eller anvendt matematikk du tar master i?
Uniform konvergens igjen
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hvis du ser på uttrykket ditt så ser du at det har et maksimum i [tex]\pm 1/sqrt{n}[/tex] (deriver og sett lik null), og av fortegnet vil [tex]f(-1/\sqrt{n})<f(1/\sqrt{n})[/tex], slik at funksjonen din har maksimum for [tex]1/\sqrt{n}[/tex]. Dermed vil du også ha [tex]||f_n||=\mathrm{sup}_{x\in\mathbb{R}}f_n(x)=f_n(1/\sqrt{n})=1/(2\sqrt{n}) \to 0 \text{ for } n\to\infty\forall x\in\mathbb{R}[/tex]krje1980 wrote:Takk for tipset.
Har knotet litt rundt med uttrykket, men klarer ikke å vise at uttrykket er mindre enn eller lik [tex]\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex].
Hva er det som forøvrig er galt i mitt resonnement over?
Må si du har en virkelig imponerende utdannelse! Hva er motivasjonen din for å ta master i matematikk når du allerede har siv.ing grad i teknisk fysikk? Er det kun interesse? Og er det ren eller anvendt matematikk du tar master i?
Hvis det er feil så tror jeg du får håpe plutarco eller noen andre ringrever som kan reell analyse kan forklare hvorfor. Jeg så bare en løsning på hintet plutarco gav deg, uten at jeg skal påstå at det er nok for å fullføre beviset ditt.krje1980 wrote:Ah! Selvsagt! Tenkte jo ikke på å derivere! Takk så mye. Setter stor pris på det. Men hadde også vært fint om noen kan gjøre rede for hvorfor resonnementet mitt for et par poster siden er feil
Ser da riktig ut ClaudeS.
@krje1980:
"Hva er det som forøvrig er galt i mitt resonnement over? "
Ikke noe feil med resonnementet, men det beviser ikke uniform konvergens.
For å bevise uniform konvergens må vi vise at det fins en N slik at [tex]|\frac{x}{1+nx^2}|<\epsilon[/tex] for alle n>N og alle reelle x. Ved å vise at [tex]|\frac{x}{1+nx^2}|\leq\frac{1}{2\sqrt{n}}[/tex] for alle x, ser vi umiddelbart at vi kan finne en slik N, bare vi velger den stor nok. Altså må vi velge N stor nok til at [tex]\frac{1}{2\sqrt{n}}<\epsilon[/tex] for n>N, og det går helt fint for alle positive [tex]\epsilon[/tex]. Vi er dermed i mål.
Trikset er altså å finne en øvre begrensning for funksjonen som avhenger kun av n (og ikke x) på en slik måte at når n vokser, vil den øvre begrensningen minke.
@krje1980:
"Hva er det som forøvrig er galt i mitt resonnement over? "
Ikke noe feil med resonnementet, men det beviser ikke uniform konvergens.
For å bevise uniform konvergens må vi vise at det fins en N slik at [tex]|\frac{x}{1+nx^2}|<\epsilon[/tex] for alle n>N og alle reelle x. Ved å vise at [tex]|\frac{x}{1+nx^2}|\leq\frac{1}{2\sqrt{n}}[/tex] for alle x, ser vi umiddelbart at vi kan finne en slik N, bare vi velger den stor nok. Altså må vi velge N stor nok til at [tex]\frac{1}{2\sqrt{n}}<\epsilon[/tex] for n>N, og det går helt fint for alle positive [tex]\epsilon[/tex]. Vi er dermed i mål.
Trikset er altså å finne en øvre begrensning for funksjonen som avhenger kun av n (og ikke x) på en slik måte at når n vokser, vil den øvre begrensningen minke.
Takker igjen! Men er det ikke slik at det jeg gjør er nettopp å vise at uansett hva vi velger for x, så vil absoluttverdien gå mot 0 for stor nok n? Først tar jeg utgangspunkt i at x går mot alle andre reelle tall enn 0, og viser at det stemmer. Deretter tar jeg for meg hva som skjer dersom x nærmer seg 0, og viser at absoluttverdien også da går mot 0.
Det du viser (slik jeg forstår det) er at funksjonsfølgen [tex]f_n=\frac{x}{1+nx^2}[/tex] konvergerer punktvis mot 0. Men som sagt så medfører ikke punktvis konvergens nødvendigvis uniform konvergens. Uniform konvergens er "strengere" ved at det krever at funksjonsfølgen konvergerer "like fort" mot 0 for alle x.krje1980 wrote:Takker igjen! Men er det ikke slik at det jeg gjør er nettopp å vise at uansett hva vi velger for x, så vil absoluttverdien gå mot 0 for stor nok n? Først tar jeg utgangspunkt i at x går mot alle andre reelle tall enn 0, og viser at det stemmer. Deretter tar jeg for meg hva som skjer dersom x nærmer seg 0, og viser at absoluttverdien også da går mot 0.