Trenger råd til beregning av polynomdivisjon

[rembrandt]

Vi har gitt polynomfunksjonen f(x)= x3 -3x2 - 13x + 15

1) Vis at f(1)=0. Bruk polynomdivisjon til å faktorisere f(x) i førstegradsfaktorer.

2) Løs ulikheten f(x)<0

[Vektormannen]

Hva har du prøvd selv?

[rembrandt]

x^3 -3x^2 - 13x + 15 = (x-1)(x^2 - 2X - 15)
x^3- x^2
__________

-2x^2
-2x^2 + 2x
________________
- 15 x
- 15 x + 15
________________________
0

[Vektormannen]

Det er helt riktig det.

Når du så skal løse ulikheten [tex]f(x) \leq 0[/tex] så må du lage et fortegnsskjema. Da trenger du å faktorisere uttrykket slik at du har et produkt av førstegradsfaktorer. Nå har du førstegradsfaktoren (x-1), men den er ganget med et andregradsuttrykk. Kan du få faktorisert andregradsuttrykket til et produkt av førstegradsfaktorer?

[rembrandt]

(x^2 - 2X - 15)


andregradslikning:

-b+- [symbol:rot] b^2 - 4 ac
2a

som gir meg :

(x-5)(x+3)

[Vektormannen]

Da er vel resten greit? Nå har du at f(x) = (x-1)(x-5)(x+3). Hvis du nå kan lage et fortegnsskjema for hver av disse faktorene så kan du avgjøre når f(x) er negativ eller lik 0.[/tex]

[rembrandt]

OKi, tusen takk for hjelpen herr vektormannen

[Nebuchadnezzar]

Eventuelt kan du bruke en smart faktorisering. Trenger ikke abc-formelen tl å faktorisere de fleste andregradslikninger.

Anta at polynomet ditt kan skrives på formen

[tex](x+m)(x+n)[/tex]

Ganger vi ut ser vi at

[tex]x^2 + (m+n)x + nm[/tex]

Sammen ligner vi dette med et generelt andregradspolynom så ser vi at

[tex]x^2 + bx + c[/tex]

At vi leter etter to tall n og m slik at. [tex]n \cdot m=c[/tex] og [tex]n+m=b[/tex]

I praksis er to slike tall enkle og finne. For problemet ditt skriver vi ned alle to tall vi kan gange sammen for å få [tex]15[/tex]

[tex]15 \, \cdot \, (-1) \, = \, - 15[/tex]
[tex](-15) \, \cdot \, 1 \, = \, -15[/tex]
[tex](-3) \, \cdot \, 5 = -15[/tex]
[tex]3 \, \cdot \, (-5) = -15[/tex]

Her ser vi også at -5+3 = -2

Altså kan vi faktorisere polynomet vårt slik

[tex]x^2 - 2x - 15 \, = \, (x + m)(x + n) \, = \, (x-5)(x+3)[/tex]

For eksempel kan vi med denne metoden faktorisere polynomet under med enkelhet

[tex]x^2 - 5x - 6 \, = \, (x - 6)(x + 1)[/tex]

Siden [tex]-6 \cdot 1 \,=\, -6[/tex] og [tex]-6 + 1 \, = \, -5[/tex]

[rembrandt]

Jeg er usikker på fortegnslinja, kan noen hjelpe meg?

(x-5)
(x-1)
(x+3)