Areal og volum med vektorprodukt

[efc]

Hei! Har prøve torsdag, og grunnet mye reising har jeg ikke vært i timene hvor vi har gått gjennom en del vektorting.

Sitter nå å prøve å komme a jour, men sliter med denne oppgaven fra Sigmaboken(2.42):

Et parallellepided er formet av vektorene p, q og r(alle disse er burde selvsagt ha vektorpil over seg, men har ingen anelse hvordan jeg gjør det), med lengdene 10, 6 og 8. Grunnflata er et rektangel. Vektor r danner 60 grader med normalen på grunnflata. Finn volumet av parallellepidedet.

Først tenkte jeg å bruke formel for volum av parallellepided, |(pXq)*r|, men det går ikke når jeg ikke har vektorer, bare vektorstørelser. Noen som kan være til hjelp med litt tips til hva jeg skal gjøre? [/tex]

[Vektormannen]

Først: tegn en figur hvis du ikke har det. Her trenger man å se litt på en figur for å få riktig vinkel når man regner.

Som du sier kan du ikke finne kryssproduktet og skalarproduktet i arealformelen på "vanlig måte", men du har fått oppgitt vektorenes lengde, og vinklene mellom dem. Husk på at [tex]\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))[/tex]. Så her har du at

[tex](\vec{p} \times \vec{q}) \cdot \vec{r} = |\vec{p} \times \vec{q}| \cdot |\vec{r}| \cdot \cos(\angle(\vec{p} \times \vec{q}, \vec{r}))[/tex]

Det eneste som har skjedd er at skalarproduktet er skrevet ut. Det du trenger å finne ut nå er [tex]|\vec{p} \times \vec{q}|[/tex] og vinkelen mellom [tex]\vec{p} \times \vec{q}[/tex] og [tex]\vec{r}[/tex]. Har du noen idé om hvordan du kan finne disse to?

[efc]

Først: tegn en figur hvis du ikke har det. Her trenger man å se litt på en figur for å få riktig vinkel når man regner.

Som du sier kan du ikke finne kryssproduktet og skalarproduktet i arealformelen på "vanlig måte", men du har fått oppgitt vektorenes lengde, og vinklene mellom dem. Husk på at [tex]\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))[/tex]. Så her har du at

[tex](\vec{p} \times \vec{q}) \cdot \vec{r} = |\vec{p} \times \vec{q}| \cdot |\vec{r}| \cdot \cos(\angle(\vec{p} \times \vec{q}, \vec{r}))[/tex]

Det eneste som har skjedd er at skalarproduktet er skrevet ut. Det du trenger å finne ut nå er [tex]|\vec{p} \times \vec{q}|[/tex] og vinkelen mellom [tex]\vec{p} \times \vec{q}[/tex] og [tex]\vec{r}[/tex]. Har du noen idé om hvordan du kan finne disse to?

Vinkelen mellom [tex]\vec{p} \times \vec{q}[/tex] og [tex]\vec{r}[/tex] er vel 60 grader? [tex]|\vec{p} \times \vec{q}|[/tex] skjønner jeg ikke hvordan jeg skal finne. For meg blir [tex]|\vec{p} \times \vec{q}|[/tex]=[tex]\vec{p} \times \vec{q}[/tex] når vi har lengdene til vektorene...

[Vektormannen]

Nei, den vinkelen er ikke 60 grader. Vinkelen mellom [tex]\vec{r}[/tex] og grunnflaten som [tex]\vec{p}[/tex] og [tex]\vec{q}[/tex] spenner ut er 60 grader. Men hva vet du om [tex]\vec{p} \times \vec{q}[/tex] i forhold til grunnflaten? Som sagt kan det være lurt å tegne en figur hvis du ikke har det.

Når det gjelder hvordan du finner lengden av kryssproduktet så står nok om det i boken din. Men kort sagt: [tex]|\vec{p} \times \vec{q}| = |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \cdot \sin(\angle(\vec{p}, \vec{q}))[/tex].