Derivasjonsoppgave med knotete summering

[TheSun]

Heisann, trenger litt hjelp med derivasjonsopg som jeg tydeligvis ikke har gjort helt feil. Men jeg har gjort nok feil til at den har fått en minus. jeg tror kanskje jeg har summert feil, så jeg viser derivasjonen min her opptil summeringen, så hadde det vært kjempeflott om noen kan sjekke om jeg har riktig så langt. Så skal jeg gi summeringen en ny sjanse.

Skal derivere denne:
[tex]\frac{30e^{-5x}}{(1+2e^{-5x})^2}[/tex]

Regel jeg brukte:
[tex]\frac{u^\prime * v - u * v^\prime}{v^2}[/tex]
u = teller, v = nevner

u' = [tex]-150e^{-5x}[/tex]

v' = [tex]2(1+2e^{-5x})(-10e^{-5x})[/tex] Er det fordelaktig og regne ut denne videre, eller beholde den slik til summeringen av alle leddene?

v^2 = [tex](1+2e^{-5x})^4[/tex]

Ser dette riktig ut foreløpig?

[Vektormannen]

Så langt ser dette riktig ut. Hvordan har du fortsatt?

[TheSun]

Det jeg ønsker er å stryke vekk noen av parantesutrykkene med nevneren, har jeg lov til dette?

[tex]\frac{-150^{-5x}*\cancel{(1+2e^{-5x})^2} - 30e^{-5x}*2\cancel{(1+2e^{-5x})}(-10e^{-5x})}{\cancel{(1+2e^{-5x})^4}}[/tex]

og jeg vil da stå igjen med kun dette i nevneren:

[tex](1+2e^{-5x})[/tex]

Nærmer jeg meg noe da?

[Vektormannen]

Du har lov, men ikke på den måten det ser ut som du gjør det på. Når du stryker så deler du egentlig på den samme faktoren i teller og nevner i brøken. Du kan ikke dele med forskjellige ting (i dette tilfellet parentesen i andre i det første leddet, mens bare i første i det bakerste leddet.) Så her kan du maksimalt stryke [tex](1+2e^{-5x})[/tex] fra hvert ledd mot en slik faktor i nevneren. Da står du igjen med:

[tex]\frac{-150e^{-5x}(1+2e^{-5x}) - 60e^{-5x}(-10e^{-5x})}{(1+2e^{-5x})^3}[/tex]

som kan forenkles videre.

[TheSun]

Se der ja, nå begynner det å sige inn her. Kan jeg ta foreta en lignende operasjon og stryke det siste utrykket i telleren, mot en i nevneren?

EDIT: Ser når at jeg gjør akkurat samme feilen du påpekte. Så dette blir feil.. Jobber med en annen løsning

[tex]\frac{-150e^{-5x}\cancel{(1+2e^{-5x})}-60e^{-5x}(-10e^{-5x})}{\cancel{(1+2e^{-5x})^3}}[/tex]

som videre gir:

[tex]\frac{-150e^{-5x}-60e^{-5x}(-10e^{-5x})}{(1+2e^{-5x})^2}[/tex]

som videre gir:

[tex]\frac{-150e^{-5x}+600e^{-5x})}{(1+2e^{-5x})^2}[/tex]

som videre gir det endelige(?) svaret:

[tex]\frac{450^{-5x}}{(1+2e^{-5x})^2}[/tex]

[TheSun]

Nå tror jeg, fra der du satt meg:

[tex]\frac{-150e^{-5x}(1+2e^{-5x})-60e^{-5x}(-10e^{-5x})}{(1+2e^{-5x})^3}[/tex]

Løser opp parantesene i teller:

[tex]\frac{-150e^{-5x}-300e^{-10x}+600e^{-10x}}{(1+2e^{-5x})^3}[/tex]

Summerer det som kan summeres i teller:

[tex]\frac{-150e^{-5x}+300e^{-10x}}{(1+2e^{-5x})^3}[/tex]

Kan dette forkortes ytterligere?

[Vektormannen]

Det ser riktig ut dette

Men nei, nå er det ikke noe mer som kan forkortes. Men du kan pynte litt på uttrykket om du vil. F.eks. kan du faktorisere ut fellesfaktorene [tex]e^{-5x}[/tex] og 150 fra begge ledd og få [tex]\frac{150e^{-5x}(2e^{-5x} - 1)}{(1+2e^{-5x})^3}[/tex]. Det er lurt dersom du skal bruke den deriverte videre til å f.eks. lage et fortegnsskjema.

[TheSun]

Strålende, tusen takk for hjelpen
Jeg skal tegne fortegnsskjema ja, så takk for tipset.