Differensiallikninger

[IngridH]

Hei!
Jeg lurer på hvordan man kan finne ut hvor raskt en bestand vokser nå, når oppgaven oppgir at antall dyr, y(x), innenfor et område etter x år er gitt ved differensiallikningen y'=0,1y-150, og at det i dag x=0 er 2000 dyr.
Håper noen kan svare meg!

[Aleks855]

[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{y}{10} - 150[/tex]

Denne diffligningen er separabel. Har du lært hvordan man løser slike?

[IngridH]

Nei, har nettopp startet med difflikninger..
Men oppgaven er under delemtet med differensiallikningen y'=ay+b

[Nebuchadnezzar]

Har du fasit?

[IngridH]

Ja, det skal være 50 per år.

[Vektormannen]

Jeg syns oppgaven er dårlig formulert. Ut i fra fasitsvaret virker det som man skal finne hastigheten det er i dag (altså x = 0), siden hastigheten i fasiten ikke avhenger av tiden. I såfall er det ikke nødvendig å løse differensialligningen. Du har fått oppgitt hvor mange dyr det er, så du vet verdien av y. Det som gir hastigheten er y'. Hvordan kan du finne y' da?

[Aleks855]

Jeg har sikkert gjort noe feil, men jeg får:

[tex]y=e^{\frac{x}{10}} + 1999[/tex]

Er dog ny på diffligninger. Ser ikke hvor 50 kommer fra.

[Vektormannen]

Når jeg løste ligningen fikk jeg [tex]y = Ce^{0.1x} + 1500[/tex] som gitt initalverdien y(0) = 2000 gir [tex]y(x) = 500e^{0.1x} + 1500[/tex]. Deriverer man denne ser man at man får [tex]y(x) = 50e^{0.1x}[/tex]. Men siden fasiten bare oppgit 50 så går jeg som jeg sa ovenfor ut i fra at man mener hastigheten ved x = 0. Men det blir jo en ganske banal sak, for da trenger man jo ikke løse differensialligningen i det hele tatt.

Hvordan gikk du frem for å løse den? Hvor kom 1999 fra?

[Nebuchadnezzar]

Slipper å løse noen likninger her ja, kan som vektormannen bare sier sette inn. Syntes dog spørsmålet var upresist formulert jeg og. Det spesifiseres ikke når vi skal finne vekstenfarten. Noe som er essensielt siden vekstfarten forandrer seg som en funksjon av tiden.

Om en skal finne ut hvor raskt bestanden vokser, akkuratt i begynnelsen, Er det bare å sette inn.

Derimot om en skal finne funksjonsutttrykket til den deriverte må en løse differensiallikningen.

[IngridH]

Vektormannen, du har helt rett, det er per i dag, eller nå, vi skal gå ut ifra!
Videre i oppgaven skal man løse differensiallikningen, og det får jeg til. Er litt nytt med differensiallikninger, men det begynner å komme seg nå! Takk for alle svar!

[Vektormannen]

Det er litt viktig ja. Du har to valg når det gjelder å finne hastigheten ved x = 0. Du kan enten benytte differensialligningen direkte, eller først løse den for å finne funksjonsuttrykket til y, som du så kan derivere igjen og finne verdien av når x = 0. Siden du uansett skal finne funksjonen y(x) senere i oppgaven så gjør det ikke så mye hva du velger. Det blir omtrent like mye jobb.

For å finne hastigheten direkte fra differensialligningen så benytter du rett og slett det du har fått oppgitt. Ligningen sier jo at [tex]y^\prime(0) = 0.1 y(0) -150[/tex]. Men vi kjenner jo y(0), så [tex]y^\prime(0) = 0.1 \cdot 2000 - 150 = 50[/tex].

For å løse selve ligningen så bør du benytte tipset Aleks855 gav deg -- at ligningen er separabel. Her kan du jo rett og slett dele med 0.1y-150 på begge sider, og gange med dx på begge sider, slik at du har

[tex]\frac{dy}{0.1y-150} = dx[/tex]

Nå er ligningen separert, og du kan du integrere hver side. Hva får du da?

EDIT: x, ikke t!

[Aleks855]

Når jeg løste ligningen fikk jeg [tex]y = Ce^{0.1x} + 1500[/tex] som gitt initalverdien y(0) = 2000 gir [tex]y(x) = 500e^{0.1x} + 1500[/tex]. Deriverer man denne ser man at man får [tex]y(x) = 50e^{0.1x}[/tex]. Men siden fasiten bare oppgit 50 så går jeg som jeg sa ovenfor ut i fra at man mener hastigheten ved x = 0. Men det blir jo en ganske banal sak, for da trenger man jo ikke løse differensialligningen i det hele tatt.

Hvordan gikk du frem for å løse den? Hvor kom 1999 fra?

Ved slurvefeil ser jeg, ved andre gjennomgang.

EDIT: Brukte dog dx og ikke dt, men i den store sammenhengen så bør det være forståelig.

[Vektormannen]

Var vel heller jeg som blingset der :p