Tallteorieksamen

[Fibonacci92]

Noen som vet pensum til tallteorieksamen ved NTNU i morgen forresten?

http://wiki.math.ntnu.no/ma1301/2011h/pensum

Har hørt at vi i tillegg må kunne bevise Eulers generalisering av Fermats lille teorem?

Er det noe mer som er blitt nevnt som ikke står på pensumlisten?

[Vektormannen]

Hvor har du hørt det? Ut i fra det han har sagt i forelesninger har jeg det inntrykket at vi ikke kommer til å få oppgaver om å bevise Fermats teorem / Eulers teorem, Wilsons teorem osv da han syns det ble for mye å kreve. Kan være jeg har gått glipp av at han har sagt at vi må kunne bevise Eulers teorem da.

Når det gjelder pensum så er det vel egentlig det meste vi har vært gjennom, men Möbius-inversjon hintet han til at vi ikke kom til å få noe om.

[Fibonacci92]

Trodde også at han hadde sagt at disse teoremene ikke skulle bevises, men så påstod en på studiet at han sagt at vi måtte kunne bevise eulers generealisering...

[Vektormannen]

[Nebuchadnezzar]

*putte fingre i ørene og nynne*

Det der hørte jeg ikke

*fortsette å øve*

[Vektormannen]

Det ble heldigvis ikke i nærheten av noe sånt

Hvordan gikk det med folket?

[Nebuchadnezzar]

Tror jeg fikk til 8 av 10 oppgaver. Ganske greit i forhold til at jeg i praksis bare har øvd i 4 dager, med det klare målet om å stå.

Tror jeg bommet på oppgaven om orden, ikke lest noenting om ordener. Og denom RSA. Ellers tror jeg at jeg klarte alt.

Den n^8 - 1 var stygg, masse bruk av konjugatsetningen og algebratygging. Tror dog jeg klarte den. Var en helt grei eksamen =)

[Vektormannen]

Ja, syns den var grei jeg også. Ble ferdig veldig tidlig, men så over svarene flere ganger og kom ikke på noe mer å legge til eller rette på. Av oppgavene jeg er usikker på er vel først og fremst den om orden for meg også.

På [tex]n^8-1[/tex] gjorde jeg sikkert omtrent det samme som deg, dvs. konjugatsetning for å skrive om til [tex](n-1)(n+1)(n^2+1)(n^4+1)[/tex] og så argumentere for at alle faktorene er delelige på 2 og at siden n er på formen 4k+1 eller 4k+3 så må en av faktorene n-1 og n+1 være delelige på 4. Så totalt har man da minst faktorene 32 = 4 * 2 * 2 * 2 i produktet.

[svinepels]

Gikk ganske bra det, hvis jeg er heldig er det meste riktig:)

men huff, tenkte ikke på den faktoriseringen i oppgave 5.

Gjorde det på en mye styggere måte, fant ut at

[tex]n^4 \equiv -1 \pmod{2} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; 2k_1 = n^4+1[/tex]
[tex]n^4 \equiv 1 \pmod{16} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; 16k_2 = n^4-1[/tex]

Sistnevnte fant jeg ved å sjekke alle mulige oddetall modulo 16. Kombinerer man resultatene, får man

[tex](2k_1)(16k_2) = (n^4+1)(n^4-1)[/tex]
[tex]32(k_1k_2) = n^8-1[/tex]

[Vektormannen]

Var jo ikke dum den heller.

[Fibonacci92]

ARG

Faktoriserte uttrykket i oppgave 9 feil slik at hele beviset ble ugyldig..... :/

Visste at jeg bare skulle ha testet verdiene fra 1-15 og sagt meg fornøyd med det... typisk:P

[Nebuchadnezzar]

Testet alle med den innebygde tabellfunksjonen, også etterpå løste jeg den på vanlig metode.

[Vektormannen]

Shit, nå ser jeg at jeg har klart å få [tex]\frac{31-1}{2}[/tex] til å bli 16

Da røyk oppgave 9 for meg også :<

[Nebuchadnezzar]

Men den kongurensen er vel ikke løsbar ? Kalkisen min sa det, også skrev jeg den om og viste det via lagrange.

[Vektormannen]

Nei, den er ikke løsbar.