Logaritmeulikhet R1

[dudedude]

Hva gjør jeg med grunntallene her??


http://bildr.no/view/1046439


Jeg tenkte man kunne få grunntallene til å bli 10, så jeg kan ta log på begge sider.

[Vektormannen]

Du har her at en potens med grunntall 4 skal være lik en potens med grunntall 4. Er du enig i at hvis to potenser med samme grunntall skal være like så må eksponentene være like?

[Kork]

Kan en av dere poste en løsning? Var ganske vrien syns jeg

[Vektormannen]

Jeg kan jo hjelpe deg på vei? Som sagt så må eksponentene være like. Da får vi ligningen:

[tex]4 + \lg(x^2 + 1) = \lg x - 4[/tex]

Hva skjer om du opphøyer med 10 som grunntall?

[Vektormannen]

Ja, da ser jeg jo at det er et ulikhetstegn i oppgaven

Men tankegangen blir den samme. Hvis en potens skal være mindre enn en annen med samme grunntall så må eksponenten være mindre. Det gir ulikheten [tex]4 + \lg(x^2 + 1) < \lg x - 4[/tex]. Da kan man gå videre med at hvis et tall er mindre enn et annet så er også 10 opphøyd i tallet mindre enn det andre. Så her kan man med andre ord opphøye begge sider med 10 som grunntall. Da blir man "kvitt" logaritmene.

[Kork]

Håper det er greit at jeg stjeler hele tråden. =P
Som vanlig hadde potensreglene gjemt seg i den mørkeste kroken i hjernen..

Stemmer dette?
[tex]$$4 + \lg ({x^2} + 1) < \lg x - 4$$[/tex]

[tex]$${10^{4 + \lg ({x^2} + 1)}} < {10^{\lg x - 4}}$$[/tex]

[tex]$${10^4} \cdot {10^{\lg ({x^2} + 1)}} < \frac{{{{10}^{\lg x}}}}{{{{10}^4}}}$$[/tex]

[tex]$${10^4} \cdot ({x^2} + 1) < \frac{x}{{{{10}^4}}}$$[/tex]

[tex]$${10^8}{x^2} - x + {10^8} < 0$$[/tex]

Denne andregradslikningen har ingen løsninger, derfor er uttrykkene aldri like hverandre, og de uttrykket som er størst for en vilkårlig verdi av x er alltid størst.

Ulikheten har derfor ingen løsning.

[Vektormannen]

Ja, det ser helt flott ut dette.

[Nebuchadnezzar]

Trenger vi "egentlig" regne på dette ?

[tex]4 + \lg\left( x^2 + 1\right) < \lg x - 4 [/tex]

[tex]8 + \lg\left( x^2 + 1\right) < \lg x[/tex]

Herfra ser vi at VS er definert for alle verdier av [tex]x[/tex]. Og den minste verdien VS kan ha er 8, siden logaritmen er en strengt voksende funksjon.

Videre ser vi at HS bare er definert når [tex]x>0[/tex]. Og at dersom x=0, så vokser funksjonen mot minus uendelig. Siden begge sider er strengt voksende funksjoner og [tex]x^2+1 > x[/tex] for alle [tex]x[/tex] når x>0. Så ser vi at ulikheten er en umulighet.

[Vektormannen]

Det er selvfølgelig også helt riktig å argumentere på den måten. Kanskje litt vanskeligere for en VGS-elev? Ikke vet jeg.

[Nebuchadnezzar]

Kanskje litt vanskelig ja, men burde gå fint om en reffererer til tegning =)

En ting jeg brente meg på i mine yngre dager var at

[tex]a^{f(x)} > a^{g(x)}[/tex]

Alltid var det samme som

[tex]f(x)>g(x)[/tex]

Men dog stemmer dette bare når [tex]a>1[/tex], ellers må vi snu likhetstegnet.
Mener dette skal være riktig, drar det fra langt bak i husken.

[Vektormannen]

Det stemmer. For 0 < a < 1 så blir det omvendt, glemte å si det i sted ja.

[Kork]

Jeg syns det er kjempegøy å få vite om de forskjellige metodene og triksene jeg kan bruke til å løse oppgaver med. Matematikken hadde nok vært mye tyngre og kjedeligere uten dette nettstedet, spesielt som privatist.