Bestemt integral

[Razzy]

[tex]$\int\limits_0^{\sqrt \pi } {x \cdot \sin {x^2}dx} $[/tex]

[tex]$\int\limits_{u = 0}^{u = \pi } {x\sin u \cdot {1 \over {2x}}du} $[/tex]

[tex]${1 \over 2}\left[ { - \cos x} \right]_0^\pi $[/tex]

[tex]${1 \over 2}\left( { - \cos \pi - \left( { - \cos 0} \right)} \right)$[/tex]

[tex]${1 \over 2}\left( { - \left( { - 1} \right) - \left( { - 1} \right)} \right) = \underline{\underline 1} $[/tex]

EDIT: Her har vi brukt substitusjon:

[tex]$u = {x^2} \Rightarrow u^\prime = {{du} \over {dx}} = 2x \Rightarrow dx = {1 \over {2x}}du,\;x = 0 \Rightarrow u = 0,\;x = \sqrt \pi \Rightarrow u = \pi $[/tex]


Alternativt kunne vi gjort det slik

[tex]$\int {x \cdot \sin {x^2}dx} $[/tex]
[tex]$u = x \Rightarrow u^\prime = 1$[/tex]
[tex]$v^\prime = \sin {x^2} \Rightarrow v = - {1 \over {2x}}\cos {x^2}$[/tex]


[tex]$$\int {x \cdot \sin {x^2}dx} = x \cdot \left( { - {1 \over {2x}}\cos {x^2}} \right) - \int {1 \cdot } \left( { - {1 \over {2x}}\cos {x^2}} \right)dx$$[/tex]

[tex]$$\int {x \cdot \sin {x^2}dx} = - {1 \over 2}\cos {x^2} + {1 \over 2}\int {{1 \over x}\cos {x^2}} dx$$[/tex]

Dette er ikke lov er det vel? Følte det ble fort litt stygg oppgave [tex]$v^\prime = \sin {x^2} \Rightarrow v = - {1 \over {2x}}\cos {x^2}$[/tex]

[Razzy]

[tex]$\int\limits_0^{\sqrt \pi } {x \cdot \sin {x^2}dx} $[/tex]

[tex]$\int\limits_{u = 0}^{u = \pi } {x\sin u \cdot {1 \over {2x}}du} $[/tex]

[tex]${1 \over 2}\left[ { - \cos x} \right]_0^\pi $[/tex]

[tex]${1 \over 2}\left( { - \cos \pi - \left( { - \cos 0} \right)} \right)$[/tex]

[tex]${1 \over 2}\left( { - \left( { - 1} \right) - \left( { - 1} \right)} \right) = \underline{\underline 1} $[/tex]

To spørsmål

1. Burde læreren brukt parantes for å resisere at: [tex]$\int {x \cdot \sin \left( {{x^2}} \right)dx} \ne \int {x \cdot {{\sin }^2}xdx = } \int {x \cdot {{\left( {\sin x} \right)}^2}dx} $[/tex]

Disse er jo ikke like: [tex]$\int\limits_0^{\sqrt \pi } {x \cdot \sin \left( {{x^2}} \right)dx} \ne \int\limits_0^{\sqrt \pi } {x \cdot {{\left( {\sin x} \right)}^2}dx} $[/tex]

2. Når vi setter inn igjen her: [tex]${1 \over 2}\left[ { - \cos x} \right]_0^\pi $[/tex] Burde det ikke stått: [tex]${1 \over 2}\left[ { - \cos {x^2}} \right]_0^\pi $[/tex] siden vi satt: [tex]u=x^2[/tex]?

[Vektormannen]

Som du ser så fører ikke den delvise integrasjonen frem. Det blir ikke noe enklere integral. Substitusjon er nok veien å gå her.

Til de to spørsmålene:

1. Det er vanlig at [tex]\sin^2 x[/tex] betyr [tex](\sin x)^2[/tex], så når man ser [tex]\sin x^2[/tex] så er det underforstått at det er [tex]\sin(x^2)[/tex] som menes. Men ja, det burde kanskje vært parenteser for å gjøre det helt klart hva som menes.

2. Det burde stått [tex]\frac{1}{2}[-\cos u]_0^\pi[/tex] -- eller -- som du sier [tex]\frac{1}{2}[-\cos(x^2)]_0^{\sqrt \pi}[/tex], men da altså med de gamle grensene igjen.

[Razzy]

Som du ser så fører ikke den delvise integrasjonen frem. Det blir ikke noe enklere integral. Substitusjon er nok veien å gå her.

2. Det burde stått [tex]\frac{1}{2}[-\cos u]_0^\pi[/tex] -- eller -- som du sier [tex]\frac{1}{2}[-\cos(x^2)]_0^{\sqrt \pi}[/tex], men da altså med de gamle grensene igjen.

Fantastisk Vektormannen, hva skulle jeg ikke gjort med en helg med deg, hadde jo lært så utrolig mye!

Har av og til tenkt på dette, tenk hvis man feks hadde en far som mattelærer - tenk det den muligheten man hadde hatt da? (sporet litt av her nå, hehe)

[Vektormannen]

Akkurat når det gjelder integrasjon så hadde du vel lært litt mer av en helg med Nebu

Far som er mattelærer ja, det hadde vært noe...

[Nebuchadnezzar]

Når jeg får en sønn eller datter skal jeg i det minste prøve å integrere hun i dette forumet her

[Aleks855]

Det å ha litt snodige grenser er som regel tegn på at man kan bruke substitusjon, men UTEN å gå tilbake til x etterpå. Man bare fullfører med u i stedet for x.

Her er et eksempel jeg fikk på min eksamen.

http://www.youtube.com/watch?v=nDohkj9WKw0

[Razzy]

Når jeg får en sønn eller datter skal jeg i det minste prøve å integrere hun i dette forumet her

Da tror jeg du gjør deg selv en tjeneste! Her inne kan man - om man er ivrig nok (og det kommer garantert din sønn/datter til å være) lære seg alt mulig, det er jo bare å spørre

Det å ha litt snodige grenser er som regel tegn på at man kan bruke substitusjon, men UTEN å gå tilbake til x etterpå. Man bare fullfører med u i stedet for x.

Her er et eksempel jeg fikk på min eksamen.

http://www.youtube.com/watch?v=nDohkj9WKw0

Nice, gikk det greit på eksamen?

KhanaNorway er bra