Omdreiningslegemet

[Nebuchadnezzar]

Tja, kanskje litt merkelig at jeg spør om dette men pytt. Orker ikke lese i boka helt enda.

Området over grafen til funksjonen [tex]f(x) = x^2[/tex] og under linja [tex]y = 1[/tex], for
[tex]0 \geq x \geq 1[/tex], roteres om y-aksen. Finn volum og overflateareal av legemet som fremkommer.

På den første oppgaven tenkte jeg at det var letteste å bare snu hele koordinatsystemet slik at jeg får

[tex]A = \pi \int \left( \sqrt{y} \right)^2 \, dy = \pi \left[ \frac{1}{2}y^2 \right]_0^1 = \frac{\pi}{2}[/tex]

Blir dette riktig?

Neste oppgave ble jeg litt usikker på hvordan jeg skulle angripe den.

Jeg tenkte at jeg kanskje kunne finne buelengden av funksjonen min, også rotere denne omrking y-aksen? Var litt usikker på hvordan det blir seende ut

[tex]O = \pi \int_{0}^{1} \left[ \sqrt{ 1 + \left( \frac{1}{2\sqrt{y}}\right)^2 }\right]^2 dy [/tex]

kanskje ? Virker litt merkelig

[Vektormannen]

Volumet ser riktig ut ja.

Det du gjør i den andre ser ikke helt riktig ut. Du får ikke overflatearealet av å gange buelengden med [tex]\pi[/tex]. Du må gjøre noe lignende som det du gjorde for volumet, dvs. å dele opp den roterte figuren i skiver som du kan finne overflatearealet av. Disse har et overflateareal gitt ved [tex]2 \pi r l[/tex], der [tex]r[/tex] er skivens radius og [tex]l[/tex] er lengden av den skrå kanten av skiven. Her blir radien [tex]x[/tex] og lendgen av kanten blir ca. en bit av [tex]ds[/tex] av buelengden til kanten. Det gir:

[tex]dS = 2\pi x ds = \pi x \sqrt{dx^2 + dy^2} = 2\pi x dy \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)}[/tex]

Summerer du opp arealet fra alle slike skiver langs y-aksen får du et integral:

[tex]S = \int_0^1 2 \pi x(y) \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2} dy[/tex]

edit: blanet om dx og dy

[Nebuchadnezzar]

Jeg kan vel eventuelt se at omkretsen til en sirkel er [tex]2\pi r[/tex]

her vil avstanden fra y-aksen til funksjonen min spille rollen som r, også summerer jeg disse fra y=0 til y=1

Jeg ser på en veldig tynn buelengde

Da får jeg

[tex]2\pi \int_0^1 \sqrt{ 1 + \left( \frac{1}{2\sqrt{y}}\right)^2 }dy[/tex]

riktig tankegang?

Lurer også litt på når det er ideelt å "snu" aksene, eller om disse oppgaven kan bli løst på en "lettere måte"

[Vektormannen]

Det blir ikke riktig nei, hvor er radien din nå da? Den varierer jo etter hva y er. Det korrekte integralet mener jeg vil bli:

[tex]\int_0^1 2 \pi x(y) \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dy}\right)^2} dy = 2\pi \int_0^1 \sqrt{y} \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2\sqrt y}\right)^2} dy = 2\pi \int_0^1 \sqrt{y + \frac{1}{4}} dy[/tex]

[Janhaa]

hva med dette

[tex]S=2\pi\int_c x \sqrt{1+(y^,)^2}\,dx[/tex]

og riktig grenser...blir lettere å regne ut også.

[Vektormannen]

Ja, det går jo også, men blir det spesielt mye enklere?

[Janhaa]

Ja, det går jo også, men blir det spesielt mye enklere?

Kanskje ikke nå, etter dine bidrag! Men på Nebu's første (som jeg forholdt mg til).
Diskriminanten blir 1+4x^2, og en snerten substitusjon fører fint fram...

[Vektormannen]

Må forresten ikke glemme arealet av sirkelen/disken på toppen, det er jo også en del av legemet!