Jeg har et spørsmål angående føringen min når jeg regner ut bestemte integraler. Jeg syntes dette er viktig for å tjene tid og holde seg systematisk på rett spor under eksamen.
1. [tex]$$\int_1^2 {\left( {3{x^2} + {1 \over {2x}}} \right)dx} = I$$[/tex]
[tex]$$I = \left[ {{x^3} + {1 \over 2}\ln \left( x \right)} \right]_1^2$$[/tex]
[tex]$$I = {2^3} + {1 \over 2}\ln \left( 2 \right) - \left( {{1^2} + {1 \over 2}\ln \left( 1 \right)} \right)$$[/tex]
[tex]$$I = 8 + {1 \over 2}\ln \left( 2 \right) - 1$$[/tex]
[tex]$$\underline{\underline {I = 7 + {1 \over 2}\ln \left( 2 \right) \approx 7,35}} $$[/tex]
2. [tex]$$\int_0^{\sqrt \pi } {x\sin \left( {{x^2}} \right)dx} = I$$[/tex]
[tex]$$u = {x^2} \Rightarrow {{du} \over {dx}} = 2x \Rightarrow dx = {1 \over {2x}}du$$[/tex]
[tex]$$x = 0 \Rightarrow u = 0;\;\;x = \sqrt \pi \Rightarrow u = 2\sqrt \pi $$[/tex]
[tex]$$I = \int_{u = 0}^{u = 2\sqrt \pi } {x\sin \left( u \right)} \cdot {1 \over {2x}}du$$[/tex]
[tex]$$I = {1 \over 2}\left[ { - \cos \left( u \right)} \right]_0^{2\sqrt \pi }$$[/tex]
[tex]$$I = {1 \over 2}\left( { - \cos \left( {2\sqrt \pi } \right) - \left( { - \cos \left( 0 \right)} \right)} \right)$$[/tex]
[tex]$$\underline{\underline {I = {1 \over 2}\left( {1 - \cos \left( {2\sqrt \pi } \right)} \right) \approx 1,42}} $$[/tex]
3. [tex]$$\int_1^2 {{x^3}\ln x\;dx = } \;I$$[/tex]
[tex]$$u = \ln x \Rightarrow u^\prime = {1 \over x};\;\;\;v^\prime = {x^3} \Rightarrow v = {1 \over 4}{x^4}$$[/tex]
[tex]$$I = {1 \over 4}{x^4} \cdot \ln x - \int {{1 \over x} \cdot {1 \over 4}{x^4}\,{\rm{d}}x} $$[/tex]
Hvordan skal jeg føre inn grensene her? Må jeg skrive:
[tex]$$I = \left[ {{1 \over 4}{x^4} \cdot \ln x - \int {{1 \over x} \cdot {1 \over 4}{x^4}\,{\rm{d}}x} } \right]_1^2$$[/tex]
[tex]$$I = \left[ {{1 \over 4}{x^4} \cdot \ln x - {1 \over 4}\int {{x^3}\,{\rm{d}}x} } \right]_1^2$$[/tex]
[tex]$$I = \left[ {{1 \over 4}{x^4} \cdot \ln x - {1 \over {16}}{x^4}} \right]_1^2$$[/tex]
[tex]$$osv...$$[/tex]
Kan alt føres slik?
