Vektormannen wrote:1. Du er inne på riktig tankegang ja, arealet blir A = gh, men her kan det være lurt å dele rektangelet vertikalt i to langs y-aksen. Da har du at A = 2xh, ikke sant? (Der x avstanden fra origo og ut til kanten av rektangelet.)
Du vil ha arealet som en funksjon av høyden. Det betyr at du ikke må prøve å kvitte deg med h, men du må prøve å få byttet ut x med et uttrykk som involverer h. Kan du tenke deg hvordan du kan finne et uttrykk for x når du er gitt h? (Husk på at du har et uttrykk som gir deg h når du kjenner x! Nå skal du altså finne det omvendte.)
2. Du begår en feil når du deriverer. Du definerer en funksjon F(u) som fortsatt inneholder h. Når du deriverer denne så deriverer du både med hensyn på h og u. Dette fører til feil senere. Her har du i første omgang et produkt, så du får:
[tex]f^\prime(h) = 2 \cdot \sqrt{4-h} + 2h \cdot \frac{d}{dh} \sqrt{4-h}[/tex]
Nå kan du eventuelt definere F(u) osv. slik du har gjort. Da trenger du bare å gjøre det i det bakerste leddet.
Det er sevlfølgelig en smakssak, men du trenger egentlig aldri å innføre "hjelpevariabler" som u her når du bruker kjerneregelen. Det kan kanskje gjøre ting klarere, men når det er såpass enkle funksjoner som her så blir det ofte mer til bry. Her vil det være helt greit å skrive:
[tex]f^\prime(h) = 2 \sqrt{4 - h} + 2h \cdot \frac{1}{2\sqrt{4-h}} \cdot (-1)[/tex],
uten å innføre variabelen u, finne F'(u) og så videre.
Dette tenker jeg nå:
1. Arealet av hele rektangelet er gitt som: [tex]$$A = g \cdot h$$[/tex]
Arealene av de to små rektangelene kan skrives som: [tex]$${A_1} = xh\;\;og\;\;{A_2} = xh \Rightarrow A = 2xh$$[/tex]
Vi finner et uttrykk for x: [tex]$$y = 4 - {x^2} \Rightarrow x = \sqrt {4 - y} $$[/tex]
Y-en i denne funksjonen er høyden i rektangelet: [tex]$$y = h$$[/tex]
Det ovenfor kan være "litt" vanskelig å skjønne...
Innsatt: [tex]$$A = 2xh \Rightarrow 2h \cdot \sqrt {4 - h} $$[/tex]
2. [tex]$$f\left( h \right) = 2h \cdot \sqrt {4 - h} $$[/tex]
[tex]$$f^\prime\left( h \right) = 2\sqrt {4 - h} + 2h \cdot {1 \over {\sqrt {4 - h} }} \cdot \left( { - 1} \right)$$[/tex]
[tex]$$f^\prime\left( h \right) = 2\sqrt {4 - h} - {{2h} \over {\sqrt {4 - h} }}$$[/tex]
Vi finner funksjonens maks-verdi ved å sette den deriverte lik null:
[tex]$$f^\prime\left( h \right) = 0$$[/tex]
[tex]$$2\sqrt {4 - h} - {{2h} \over {\sqrt {4 - h} }} = 0\;\;\;\left| \cdot \right.\sqrt {4 - h} $$[/tex]
[tex]$$2\left( {4 - h} \right) - 2h = 0$$[/tex]
[tex]$$8 - 4h = 0 \Rightarrow h = 2$$[/tex]
For å bekrefte at det vi har funnet er et maks-verdi-punkt kan vi sette inn et lavere og et høyere tall i den deriverte og se om det stemmer.
[tex]$$f^\prime\left( { - 2} \right) = 2\sqrt {4 - \left( { - 2} \right)} - {{2\left( { - 2} \right)} \over {\sqrt {4 - \left( { - 2} \right)} }} \Rightarrow {{8\sqrt 6 } \over 3} \approx 6,53$$[/tex]
O.K. - et mindre tall gav positivt resultat
[tex]$$f^\prime\left( 4 \right) = 2\sqrt {4 - 4} - {{2 \cdot 4} \over {\sqrt {4 - 4} }} \Rightarrow - 4$$[/tex]
O.K. - et større tall gav negativt resultat.
Dette forteller oss at punktet vi har funnet er et maks-verdi-punkt.
[tex]$$\underline{\underline {f\left( x \right)\;har\;maksverdi\;n{\aa}r\;h\; = \;4}} $$[/tex]
