En Integrerende Faktor (I.F.) er en funksjon vi ganger likningen med, slik
at vi kan integrere den opp direkte. Det er oftest vanskelig (eller umulig) å finne svaret på diff.lign uten denne.
[tex]$$xy^\prime + 3y = {{\cos x} \over {{x^2}}}\;\;\left| { \cdot {1 \over x}} \right.$$[/tex]
Vi blir kvitt x-sen foran y (dette må vi alltid gjøre) og vi kan trygt gjøre det siden [tex]x\; >\; 0[/tex]
[tex]$$y^\prime + {3 \over x}y = {{\cos x} \over {{x^3}}}$$[/tex]
[tex]$$u\left( x \right) = {e^{\int { + {3 \over x}\;dx} }} \;= {e^{3\ln \left| x \right|\; + \;C}} = {e^{\ln {{\left( x \right)}^3}}} \cdot {e^C} = A{x^3} \Rightarrow {x^3}\;\left( {I.F.} \right)$$[/tex]
[tex]$$A\;er\;satt\; = \;1\;\;og\;\;x\; > \;0$$[/tex]
[tex]$${\left( {{x^3} \cdot y} \right)^\prime } = {x^3} \cdot {{\cos x} \over {{x^3}}} = \cos x$$[/tex]
Vi har nå multiplisert alle ledd med den I.F, også stoler vi på at produktregelen baklengs gir oss V.S.
[tex]$${x^3} \cdot y = \int {\cos x\;dx = \sin x + C} \;\;\;\;\left| { \cdot {1 \over {{x^3}}}} \right.$$[/tex]
Vi integrerer begge sider og igjen kan vi trygt dele med variabelen x siden den er [tex]x\; >\; 0[/tex]
[tex]$$\underline{\underline {y\left( x \right) = {{\sin x} \over {{x^3}}} + {C \over {{x^3}}}}} $$[/tex]
Alle løsninger av likningen vår kan da skrives slik.
Ser dette bra ut?
