Bevis for at periferivinkel over diameter i sirkel er 90°

[malef]

Jeg ser at bevisrekken min både er vanskelig å følge, at en viktig slutning bare er underforstått og at jeg rekken inneholder overflødig informasjon. Veldig flott at du kom med ditt eget forslag, som jeg ser er lett å følge fra begynnelse til slutt.

Dette har vært en veldig lærerik første øvelse for meg. Kommer til å prøve meg på flere bevis Vil tro at jo flere bevis man har prøvd å sette opp selv, jo mer har man igjen for å lese gjennom bevis i lærebøker og andre steder. Takk for hjelpen!

[Vektormannen]

Ja, det har du nok rett i. Hvis du har tenkt å studere noe som involverer matte senere så vil du nok se at det blir et større og større fokus på bevis, så det er nok lurt å komme litt inn i bevistankegangen tidlig.

[malef]

Prøver meg på utfordringen jeg fikk av Vektormannen for en tid tilbake.


[tex]\triangle ABS[/tex] og [tex]\triangle ACB[/tex] spenner begge over samme sirkelbue, men [tex]\angle ASB[/tex] har toppunkt i sentrum mens [tex]\angle ACB[/tex] har toppunkt på sirkelperifierien.

Jeg trekker diagonalen fra C til D gjennom trekantene.

Diagonalen er 180°.

[tex]\angle ESB+\angle BSC=180^\circ[/tex]

[tex]\triangle BSC[/tex] er likebeint siden to av sidene er radier i trekanten.

Derfor er [tex]\angle SCB= \angle SBC[/tex]

Da har vi at [tex]\angle CSB+ 2\angle SCB=180^\circ[/tex] siden vinkelsummen i en trekant er 180°.

Videre har vi at [tex]2\angle SCB=\angle ESB[/tex]

Tilsvarende gjør vi for trekantene på venstre side av diagonalen. Da har vi at [tex]\angle ASE+\angle ESB=2\angle ACS+ 2\angle SCB[/tex]. Da er det vel bevist at sentralvinkelen er dobbelt så stor som periferivinkelen når de spenner over samme bue?

Edit: Endret feilaktig navn på vinkel

[Vektormannen]

Hvor er dette punktet G?

edit: mente vel B ja

[Vektormannen]

Hvor trekker du det fra at [tex]2\angle SCB = \angle ESB[/tex]?

[malef]

Hvor trekker du det fra at [tex]2\angle SCB = \angle ESB[/tex]?

Mulig jeg gjør et tankesprang igjen her.

Siden[tex] \angle ESB+ \angle BSC=180^\circ[/tex] og [tex]\angle BSC+2\angle SCB=180^\circ[/tex], må [tex]2\angle SCB = \angle ESB[/tex]. Eller?

Tegningen min er vel dessverre ikke den tydeligste (er fersk geogebrabruker). B er oppe til høyre.

Edit: Endret navn på vinkel

[Vektormannen]

Joda, det stemmer det. Men det burde kanskje komme litt tydeligere frem i beviset. (Da antar jeg du mener G og ikke B ovenfor, og B og ikke P nå nettopp?)

Ser veldig bra ut dette!
Bare husk at et bevis skal argumentere klart og tydelig fra start til slutt. Det at [tex]2\angle SCB = \angle ESB[/tex] er jo hele nøkkelen, så det må komme klart fram hvorfor det er sant.

Nå har du bevist setningen for to tilfeller. Men det er ett tilfelle til som kan oppstå, og det er at sentrum havner utenfor denne trekanten som du tegnet opp. Se figur:



Du har nå vist tilfelle 1 og 2 i ett. (Tilfelle 1 var vel i grunn det jeg ba deg begrunne nå nettopp.) Da gjenstår det å bevise det tredje tilfellet. Og da kan vi trygt si at periferivinkelsetningen gjelder generelt.

(Beklager ekstremt stygge tegninger!)

[malef]

Huff ja, jeg kom visst i skade for å skrive feil bokstaver . P og G fins ikke.

Takk for hjelpen igjen! Tygger litt på tilfelle 3 og kommer tilbake til saken

[Vektormannen]

Den er grei

Tilfelle 3 kan sikkert bevises på flere måter, men et hint for å (kanskje?) gjøre det enklere er å benytte at tilfelle 1 er bevist...

[malef]

Jeg prøver meg på siste tilfelle ...

Fra tidligere vet vi at [tex]\angle ASD=2 \angle ACD[/tex] og at [tex]\angle BSD=2 \angle BCD[/tex]

Dermed er [tex]\angle ASB=\angle ASD- \angle BSD=2 \angle ACD-2 \angle BCD=2(\angle ACD- \angle BCD)=2\angle ACB[/tex]

Dermed er det bevist at [tex]\angle ASB=2\angle ACB[/tex].

[Vektormannen]

Helt riktig det

Da er denne regelen bevist helt generelt!

[malef]

Tusen takk for god veiledning! Sliter fremdeles med bevis, så jeg lar nok høre fra meg igjen