Seperable difflikninger, forklaring

[Nebuchadnezzar]

Stusset litt over dette en stund og lurer litt på hvordan vi kan

rettferdigjøre notasjonsjongleringen når vi løser differensiallikninger.

Eksempelvis dersom jeg har en differensiallikning på formen

[tex]y^{\prime} \cdot y = 5x[/tex]

Kan jeg skrive

[tex]\frac{dy}{dx} \cdot y = 5x[/tex]

[tex] y \, dy \, = \, 5x \, dx[/tex]

[tex]\int y \, dy \, = \int 5x \, dx[/tex]

Osv. Vi "ganger" med dx på begge sider...

En forklaring jeg leste var om kjerneregelen, og at vi kunne innføre en ny paramterer. Men den gav ikke så mye mening. Dersom dere skulle forklart hvorfor denne sjongleringen er lovlig, til en gjennomsnittlig smart R2 klasse. Hvordan ville dere ha gjort det?

[espen180]

Jeg tror kjerneregelen (variabelskifte) er den beste måten å gjøre det på hvis man ikke vil multiplisere med differensialer. Integrerer vi begge siden med hensyn på x får vi for venstresiden:

[tex]\int y\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x}\rm{d}x=\int y \rm{d}y = \frac{1}{2}y^2 + C_1[/tex]

For høyresiden:

[tex]\int 5x \rm{d}x=\frac52 x^2 + C_2[/tex]

Og ved å bruke at [tex]f(x)=g(x) \Leftrightarrow F(x)=G(x)+C[/tex] (m/ F'(x)=f(x) osv.), konkludér at

[tex]y=\sqrt{5x^2+C}[/tex]

Det er ikke vanskelig å generalisere argumentet.