Komplekse tall

[Nova]

Describe geometrically (or make a sketch of) the set of points z in the complex plane satisfying the given equations or inequalities.

| z | = 2 (modulus(z) = 2)

Jeg tenker at siden modulus(z) er avstanden fra origo til pkt, altså hvis man skal beskive dette geometrisk, må det bli omkretsen til en sirkel med radius 2, at alle pkt sitter der?

Men når jeg sjekker på wolframalpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=modulus%28z%29%3D2 ser jo dette helt anderledes ut.. Høhø. Hvordan tenker man her?

Og hva med når i kommer inn i uttrykket?
Eks: | z -3 + 4i | <= 5

[Vektormannen]

Du har tenkt helt riktig! WolframAlpha antar at z er et reelt tall og løser ligningen |z| = 2. Det er bare to reelle tall som oppfyller det, nemlig z = -2 og z = 2 (punktene på sirkelen der imaginærkomponenten er 0.)

Når det kommer i eller andre tall inn i uttrykket, så tenk på følgende: [tex]|z - z_0|[/tex] er avstanden fra tallet [tex]z[/tex] til [tex]z_0[/tex] i det komplekse planet. Så i ditt tilfelle har du [tex]|z - (3 - 4i)| \leq 5[/tex]. Da betyr det at du skal beskrive mengden med tall som er slik at avstanden fra hvert tall til tallet [tex]3 - 4i[/tex] er mindre eller lik 5. Tenk tilsvarende som ovenfor. Hvilken figur danner tallene i det komplekse planet?

[espen180]

Alpha tolker [tex]z[/tex] som en reell variabel. Din tolking, en sirkel med radius 2 og sentrum i origo, er riktig.

Det skaper ingen problemer at i er i modulustegnet. Hvis vi generealiserer alle gitte størrelser har du et uttrykk på formen

[tex]|z-z_0|\leq r[/tex]

Hvilke [tex]z[/tex] oppfyller denne ulikheten?

[Per Spelemann]

Kommentar om løsningen på wolframalpha.com:

Etter at jeg aktiverte javascript i nettleseren hos meg, så fikk jeg opp også imaginære løsninger. Og da gjenkjenner man forhåpentligvis en hvis formel for halvsirkel.

[Nova]

Takk for hjelpen, tror jeg skjønte det etter hvert..

Jeg tenkte hvertfall sånn:
[tex]|z-3+4i| \le 5[/tex]
[tex]z = x + iy[/tex]
[tex]|x+iy-3+4i| \le 5[/tex]
[tex]x-3 + i(y+4) \le 5[/tex]
[tex]sqrt((x-3)^2 + (y+4)^2) \le 5[/tex]
[tex](x-3)^2 + (y+4)^2 \le 5^2[/tex]
Som er en sirkel med sentrum (3,-4) og radius mindre eller lik 5.


Men hva med: arg z = pi/3. Er ikke dette bare en uendelig linje med theta = pi/3?

[Vektormannen]

Joda, stemmer det

[Nova]

Wihu!

I stedet for å lage tusen emner prøver jeg å fortsette å spørre her jeg.. hehe.

The z-plane region D consists of the complex numbers z = x + yi hat satisfy the given conditions. Describe (or sketch) the image R of D in the w-plane under the given function w = f(z).

[tex]0 \le x \le 1[/tex], [tex]0\le y \le 2[/tex], [tex]w=\overline{z}[/tex]

Eneste jeg får til å sette opp her er at w = x - yi.
Så skal x være mellom 0 og 1, og y mellom 0 og 2. Får man da et rektangel med hjørner i (0,0), (0,-2), (1,0) og (1,-2)?

Er ikke fasit på noen oppgaver + komplekse tall er helt nytt for meg, så det er helt håpløst å vite om man gjør noe rett

[Vektormannen]

Her har du altså et område D i det komplekse planet og en funksjon [tex]f(z) = \bar z[/tex] som sender tall i D til et område R som du skal beskrive.

Området D er rektangelet med hjørner i 0, 1, 2i og 1+2i. Som du sier så vil punktene i R ha samme x-verdi, men negativ y-verdi. Dermed blir R som du sier rektangelet med hjørner i 0, 1, -2i og 1-2i. (Tallene som svarer til punktene du har oppgitt.)

[Nova]

Åja, så du får begge deler? Altså, både w og z?

Blir jo svimmel av å lese oppgaveteksten jeg.. Så du har området D i planet, og så skal du i tillegg tegne R som er en funksjon av D??

[Vektormannen]

Ja, du skal beskrive/tegne verdimengden, eller bildet (image) som det også kalles, til funksjonen. Det vil si mengden med alle mulige tall du kan få ut av funksjonen. Verdimengden R blir det rektangelet du beskrev. Det eneste funksjonen gjør er å speile hvert tall om den reelle aksen, så R blir speilbildet av D om den reelle aksen.

[Nova]

Ok forhåpentligvis siste spørsmål:

Samme oppgavetekst.
[tex]1 \le |z| \le 2[/tex], [tex]\frac{\pi}{2} \le arg(z) \le \frac{3\pi}{4}[/tex]; [tex]w = z^2[/tex]

Først bare z:
[tex] 1 \le |x + iy| \le 2[/tex]
[tex] 1 \le sqrt(x^2+y^2) \le 2[/tex]
[tex] 1^2 \le sqrt(x^2+y^2)^2 \le 2^2[/tex]
[tex] 1 \le x^2 + y^2 \le 4[/tex]
Dette må vel bli en "sirkel"/smultring, med radius mellom 1 og 4. Vinkelene som avgrenser området er [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] og [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]

Så [tex]w = z^2[/tex]:
[tex] 1 \le x^2 + y^2 \le 2 [/tex]
[tex] sqrt(1)^2 \le x^2 + y^2 \le sqrt(2)^2 [/tex]
Dette blir en sirkel/smultring med radius mellom 1 og sqrt(2).

Finner så vinklene som avgrenser området:
[tex]\frac{\pi}{2} \le arg(z*z) \le {3\pi}{4}[/tex]
[tex]\frac{\pi}{2} \le arg(z)+arg(z) \le {3\pi}{4}[/tex]
[tex]\frac{\pi}{2} \le 2arg(z) \le {3\pi}{4}[/tex]
[tex]\frac{\pi}{4} \le arg(z) \le {3\pi}{8}[/tex]
Som er vinklene som avgrenser området.

Hvis dette stemmer skal jeg prøve å ikke mase på en stund

[Vektormannen]

Hva er det oppgaven spør etter egentlig?

[Nova]

The z-plane region D consists of the complex numbers z = x + yi that satisfy the given conditions. Describe (or sketch) the image R of D in the w-plane under the given function w = f(z).

[tex]1 \le |z| \le 2[/tex], [tex]\frac{\pi}{2} \le arg(z) \le \frac{3\pi}{4}[/tex]; [tex]w = z^2[/tex]

Ops: ser at jeg hadde skrevet x et par plasser det det skulle stå z. Men nå burde det stå riktig.

[Vektormannen]

Det blir ikke helt riktig det du gjør der nei. Hva er det du har tenkt?

For å løse dette er det aboslutt enklest å skrive om tallene til polarform. Hvis [tex]z = re^{i\theta}[/tex] så er da [tex]w = r^2 e^{2i\theta}[/tex]. Da er det ganske greit å tegne R.

[Nova]

Jeg har tenkt at først var det bare å finne radius og vinkel for z. Ble dette feil?

Og så når w = z^2 så sett inn z*z i uttrykkene i steden, og regn ut i fra det :-P

Trodde at det på en måte var gjort om til polarform jeg nå... (r, theta) med radius mellom det og det, og theta mellom det og det. På en måte...