Differentiallikninger

[mentalitet]

Hei. Har en oppgave her jeg sliter med:

En fallskjermhopper har nådd maksimalfarten 60m/s. Så utløser han fallskjermen. Farten v er deretter tilnærmet ved differensiallikningen 100v'=-v^2

a) Finn v(t) når t er tiden i sekunder etter fallskermutløsningen


Noen som kan hjelpe meg? Antar at jeg må "differensiere" uttrykket, men er litt usikker på hvordan det blir. Noen som kan hjelpe?

[Vektormannen]

Det blir nok heller snakk om å integrere. Det du har her er en differensialligning som knytter den deriverte av farten til farten selv. Ligningen er separabel, så hvis vi skriver [tex]v^\prime = \frac{dv}(dt}[/tex] så har vi at

[tex]100 \frac{dv}{dt} = -v^2 \ \Leftrightarrow \ \frac{dv}{v^2} = -\frac{dt}{100}[/tex]

Er du med på det? Hva kan du nå gjøre på begge sider?

[mentalitet]

Hm, tror det. Det jeg mente å gjøre var å løse uttrykket slik at jeg fikk V=..., er ikke det det du også gjør?

[Vektormannen]

Jo, det er det jeg gjør. Du blir nødt til å gjøre det på den måten for å finne et uttrykk for v(t) som kun avhenger av tiden. Hvis du bare tar fatt i den opprinnelige differensialligningen og får v alene, så vil du få et uttrykk der v avhenger av den deriverte av seg selv.

Hvis du nå integrerer begge sider så kan du finne v(t), ikke sant?

[mentalitet]

Jupp, problemet er bare at jeg får helt feil svar. Kunne du vist meg fremgangsmåten steg for steg?

[Vektormannen]

Som sagt så integrerer vi nå begge sider:

[tex]\int \frac{1}{v^2} dv = -\frac{1}{100} \int dt[/tex]

[tex]-\frac{1}{v} = -\frac{1}{100}(t + C)[/tex]

Har du gjort akkurat det samme som dette, eller var det i disse stegene det gikk galt?

Nå er resten av jobben snakk om å få v alene på én side. Det regner jeg med går greit?

[mentalitet]

Ah, ja jeg kom så langt men lurer på om jeg har rotet inn en feil på veien. Hvorfor blir forresten C'en plassert inne i parentesen og ikke utenfor? Altså hvorfor blir det ikke -1/y=1t/100+C ? Der henger jeg ikke helt med. Slik jeg tenkte det ble det:

-1/y+C1=1t/100+C2

-1/y=t/100+C

[ettam]

Det er riktig det du gjør også, mentalitet.

Dere har bare "ulike" konstanter.

[mentalitet]

Aha, flott. Blir det endelige svaret da v=100/t+1/c ?

[Vektormannen]

Det blir ikke helt sånn nei.

Du har her

[tex]\frac{1}{v} = \frac{1}{100}t + C[/tex]

Hvis du nå ganger med v på begge sider og så deler på hele høyresiden (eller eventuelt tenker at du deler 1 på begge sider) så har du

[tex]v = \frac{1}{\frac{1}{100}t + C} = \frac{100}{t + 100C}[/tex]

Du må altså dele på hele høyresiden, og så må du huske på at [tex]\frac{1}{a+b} \neq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}[/tex].

Nå kan du godt kalle 100C for en ny konstant D, så vi får til slutt

[tex]v = \frac{100}{t + D}[/tex]

[mentalitet]

Ah, da forstår jeg! tusen takk skal du ha!!

[mentalitet]

Forresten, et annet spørsmål: noen anelse om hvorfor jeg får meldingen "feil: argumentfeil" når jeg skrive inn difflikningen i T1nspire? Gjør det på akkurat samme måte som med alle andre difflikninger men med denne får jeg bare feil.