Likningen for ei kule

[prasa93]

Ei kule har likningen

x^2 + y^2 + z^2 - 14x + 2y - 10z + 39 = 0

Punktene A(11, -5, 7) og B(3, -3, 9) ligger på kula.

Finn likningen for de planene som tangerer kula i punktene A og B.

-

Her står jeg rimelig fast. Vi har jo kulelikningen og ett punkt, hvordan går vi da fram for å finne planlikningen. Normalvektoren er vel et hett tips her, men ser ikke hvordan vi kan få den ut i fra kulelikninga.

[Nebuchadnezzar]

Klarer du å finne S sentrum av kula?

Ser du da at du kan bruke [tex]\vec{SA}[/tex] og [tex]\vec{SB}[/tex] som normalvektorer ?

[prasa93]

Nja, stemmer det at SA blir [4, -4, 8]?

Sentrum er (7, -1, 5)?

EDIT: Jey, det gikk, ja. Likevel hadde jeg aldri klart å finne på hvordan man løser den. Hvorfor er SA normalvektoren?

[Nebuchadnezzar]

Ser riktig ut det =)

Om du tegner så ser du vel at planet som tangerer kulen i A, står vinkelrett på en vektor som går fra sentrum til A

Da kan du bruke SA som normalvektor (Du kan også bruke [tex][1,-1,2][/tex])

[prasa93]

Er helt elendig på visuelle framstillinger, så klarer verken se for meg eller tegne. Har du et program som gir lette framstillinger? Takk for hjelp btw.

[Nebuchadnezzar]

Kan slenge opp en rask tegning, er mye rart du kan bruke for å tegne ting.

Geogebra 5
Maple 13 < min favoritt, fantastisk til så mye rart
Capris 3D
osv

Eller paint

At noe tangerer noe, en funksjon, et plan eller sirkel, betyr at det står vinkelrett på sentrum. Det er selve definisjonen av at noe tangerer.

[prasa93]

Takk, hvis man har delteksten "Planet A skjærer en sirkel av kula K. Finn r" f.eks., hvordan tegner man da? Har en forhåpning om av Pytagoras kan brukes, men er ikke helt sikker.

[Nebuchadnezzar]

Uten noen flere konkrete opplsyninger, så blir det vanskelig å gi noen råd eller svar.

Og nå skal det ogsåsies at jeg ikke er spesielt flink med vektorer, er andre som er langt mer drevne på slike ting her inne enn lille meg. Vektormannen for eksempel <3

Men er nok riktig at du skal bruke pytagoras ja. Utifra min tegning kan du tenke deg at du bare flytter det røde planet, litt nærmere kula. Slik at den skjærer.

[prasa93]

Har en til her:

En kule K har sentrum i (-10, 9, -13) og radius 12. Vis at kula tangerer planet A gitt ved likningen 2x + y - 2z - 51 = 0 og skriv opp koordinatene til tangeringspunktet mellom K og A.

Har her at normalvektoren er gitt ved [2, 1, -2]. Parameterframstillingen til kula blir dermed gitt ved:

x = -10 + 2t
y = 9 + t
z = -13 - 2t

Setter inn i likninga og får at t = 4, og setter inn i parameterframstillingen og får koordinatene (-2, 13, -21)

Har jeg nå også vist at kula tangerer planet A gitt ved likningen 2x + y - 2z - 51 = 0?

[Vektormannen]

Nei, det har du ikke. Jeg er ikke helt med på hva du gjør (men det betyr ikke at det trenger å være helt feil), men du sier at den parameterfremstillingen du finner er parameterfremstillingen til kula. Det stemmer vel ikke? Det du har funnet er parameterfremstillingen til linja som går gjennom sentrum og som står normalt på planet. At denne linja skjærer planet i ett punkt beviser ikke noe som helst -- alle linjer som står normalt på et plan vil jo skjære planet i nøyaktig ett punkt!

For å vise at planet tangerer kan du f.eks. bruke avstandsformelen fra punkt til plan. Er du kjent med denne? Hvis du kan vise at avstanden fra planet til sentrum i kula er lik radien til kula så har du vist at planet må tangere, ikke sant? For å finne skjæringspunktet kan du da fortsette med å bruke parameterfremstillingen du fant, og sette denne inn i planligninga. Da finner du tangeringspunktet. (Det er vel kanskje det du har gjort allerede?)

EDIT: Siden du allerede har funnet skjæringspunktet mellom normallinja til planet og planet, så kan du selvsagt også bare finne avstanden mellom dette skjæringspunktet og sentrum, og vise at denne er lik radius i kula.

[prasa93]

Skjæringspunktet er (-2, 13, -21) og sentrum er (-10, 9, -13). Vektoren blir (abs-verdier): [8, 4, 8]. Avstanden er gitt ved kvadratroten av 8^2 + 4^2 + 8^2 = 12. Dette er også radiusen. Har jeg nå vist at kula tangerer planet? Uten å bruke likninga??

[Vektormannen]

Ja, nå har du vist det. Avstanden mellom sentrum og skjæringspunktet er den korteste avstanden frem til planet (korteste avstand mellom et punkt og et plan er jo nettopp lengden av linjestykket mellom de to som står vinkelrett på planet.) Hvis den korteste mulige avstanden akkurat er lik radius til kula så må dette være det eneste punktet som kula og planet har felles. Alle andre punkt i planet har jo en avstand som er litt lengre unna sentrum -- altså kan de ikke ligge på kula.

(Ligninga har du vel brukt tidligere for å finne dette skjæringspunktet?)

[prasa93]

Nå er jeg med tror jeg. Takker.