Likningen gjennom et plan

[prasa93]

I tetraederet ABCD er A(1, 0, 5), B(5, 0, 1), C(4, 4, 4) og D(8, 0, 7).


c) Vis at likningen for planet alfa gjennom A, B og C er gitt ved

2x - y + 2z - 12 = 0

Har at retningsvektoren for planet er gitt ved [2, -1, 2] og velger meg punkt A og setter inn i planlikningen a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0. Da får vi likningen.

Løsningsforslaget sier derimot at vi skal sette inn hvert punkt (A, B og C) inn i likningen og se at det passer. Er begge likeverdige?

[Vektormannen]

Det du gjør er ikke fullstendig nei, for du viser ikke noe sted hva B og C vil ha med dette å gjøre. Vektoren [2,-1,2] er forresten normalvektor, ikke retningsvektor til planet. Hvis du kan vise at denne er [2,-1,2] ut i fra punktene A, B og C, så vil du ha vist at alle tre punkter ligger i planet. (Hvis det var slik du fant [2,-1,2] så har du gjort rett, men det ser for meg ut som du tok denne normalvektoren rett fra planligningen?)

[prasa93]

Å finne den var deloppgave b, så da regner jeg med at det er klarert.

[prasa93]

Vi skal nå finne skjæringspunktet E mellom linja l og planet A. Da må vi først finne parameterframstillingen til linja l og så sette den inn i planlikninga og finne t-verdien, som er den felles bevegelsen/forflytningen. Deretter setter vi den samme t-verdien inn i x, y og z i parameterframstillingen. Er dette korrekt? Og er det retningsvektoren til linja l jeg bruker, eller normalvektoren? Dersom jeg f. eks. har [16, -8, 16] som retningsvektor for linja (løsningsforslaget har dette som normalvektor også...) og har punktet D(8, 0, 7) får jeg parameterframstillingen:

x = 8 + 16t
y = -8t
z = 7 + 16t

Blir det da riktig å dele opp t'ene, slik at jeg får

x = 8 + 2t
y = -t
z = 7 + 2t

Er dette korrekt? Og videre når jeg får at jeg skal finne skjæringspunktet, hvilken av dem skal jeg bruke når jeg skal finne det? Sier seg selv at de gir to forskjellige svar.

[Vektormannen]

Dette ser riktig ut ja. De to parameterfremstillingene er som du sier helt ekvivalente. Det eneste du trenger er en retningsvektor som peker i retningen linja har. Om den er [16, -8, 16] eller [2, -1, 2] spiller ingen rolle -- de peker i samme retning. Når det gjelder hvilken du bruker så er det akkurat det samme. Ja, du får forskjellige t-verdier, men når du så går tilbake til parameterfremstillingen og får ut punktet som t-verdien svarer til, så blir det nøyaktig det samme punktet for begge to. Med på det?

[prasa93]

(...) får ut punktet som t-verdien svarer til, så blir det nøyaktig det samme punktet for begge to

Bruker jeg [2, -1, 2] og D(8, 0, 7) og setter inn får jeg t = (-10/3) (Gjort feil?)

Da får jeg skjæringspunktene (4/3 , 10/3 , 1/3) Med den andre t-verdien får jeg (4, 2, 3). Da er det vel jeg som har surra med talla?

[Vektormannen]

Ja, se over regningen din. Jeg ender opp med t = -2, som gir punktet (8 + 2(-2), -(-2), 7 + 2(-2)) = (8 - 4, 2, 7 - 4) = (4, 2, 3).

[prasa93]

Flottings, da har vi det!