Holder på med et kurs innen surface tension og capillarity. Prøver å utlede Laplace pressure equation (Lpe), og har hengt med hele veien (noen sider). Imidlertid stopper der helt opp når denne 2. ordens ikke-lineære ODE skal integreres.:
[tex]\frac{1}{z\sqrt{1+\dot z^2}}\,-\,\frac{\ddot z}{(1+\dot z^2)^{1.5}}=\frac{\Delta p}{\gamma}\,\,\,(*)[/tex]
boka bruker
[tex]\dot z=\frac{dz}{dx}[/tex]
videre er
[tex]\text \Delta p: overpressure[/tex]
og
[tex]\text \gamma: surface tension[/tex]
jeg har randbetingelser også, men er der mulig å løse denne (*) på "vanlig" måte?
Dvs for z = z(x)
Laplace pressure equation
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ja, første jeg prøvde, men kom ikke helt i mål!
For prøve i morra igjen, jobba 14 t nå...
For prøve i morra igjen, jobba 14 t nå...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
[tex]\frac{1}{z\sqrt{1+\dot z^2}}\,-\,\frac{\ddot z}{(1+\dot z^2)^{1.5}}=C[/tex]Janhaa wrote: [tex]\frac{1}{z\sqrt{1+\dot z^2}}\,-\,\frac{\ddot z}{(1+\dot z^2)^{1.5}}=\frac{\Delta p}{\gamma}\,\,\,(*)[/tex]
[tex]\dot{z}=v[/tex], så
[tex]\frac{dv}{dz}=\frac{(1+v^2)}{vz}-C\frac{1}{v}(1+v^2)^{1.5}[/tex]
Sett [tex]1+v^2=u[/tex]. Vi får at
[tex]\frac{du}{dz}=\frac{2u}{z}-2Cu^{1.5}[/tex]
Dette er faktisk en Bernoulli-ligning som løses gjennom den kjente substitusjonen [tex]w=u^{-0.5}[/tex]. Ligningen transformeres til
[tex]-2\frac{dw}{dz}=\frac{2w}{z}-2C[/tex].
Gang med integrerende faktor etc. og du skal kunne klare å finne w, deretter u, v og z via, muligens stygg, integrasjon.
Takk for svar plutarco, var ett par med PhD i fysikk som også sleit med denneplutarco wrote:[tex]\frac{1}{z\sqrt{1+\dot z^2}}\,-\,\frac{\ddot z}{(1+\dot z^2)^{1.5}}=C[/tex]Janhaa wrote: [tex]\frac{1}{z\sqrt{1+\dot z^2}}\,-\,\frac{\ddot z}{(1+\dot z^2)^{1.5}}=\frac{\Delta p}{\gamma}\,\,\,(*)[/tex]
[tex]\dot{z}=v[/tex], så
[tex]\frac{dv}{dz}=\frac{(1+v^2)}{vz}-C\frac{1}{v}(1+v^2)^{1.5}[/tex]
Sett [tex]1+v^2=u[/tex]. Vi får at
[tex]\frac{du}{dz}=\frac{2u}{z}-2Cu^{1.5}[/tex]
Dette er faktisk en Bernoulli-ligning som løses gjennom den kjente substitusjonen [tex]w=u^{-0.5}[/tex]. Ligningen transformeres til
[tex]-2\frac{dw}{dz}=\frac{2w}{z}-2C[/tex].
Gang med integrerende faktor etc. og du skal kunne klare å finne w, deretter u, v og z via, muligens stygg, integrasjon.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Endte opp med ett kranglete integral! Mulig jeg har gjort noen feil.
=====================
Hvordan går man fram for å løse slike:
[tex]\frac{1}{z}\,-\ddot z=\,C[/tex]
der
[tex]\dot z=v[/tex]
og
[tex]\ddot z=v\frac{dv}{dz}[/tex]
=====================
Hvordan går man fram for å løse slike:
[tex]\frac{1}{z}\,-\ddot z=\,C[/tex]
der
[tex]\dot z=v[/tex]
og
[tex]\ddot z=v\frac{dv}{dz}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
takk, jeg visste forsåvidt det, men siden v = dz/dx, koker dette ned i integralet:plutarco wrote:[tex]v\frac{dv}{dz}=\frac{1}{z}-C[/tex] er jo separabel.
[tex]\int v\,dv=\int \frac{1}{z}-C\,dz[/tex]
[tex]\int\,dx=\int \frac{dz}{\sqrt{2\left(\ln(z)-C_1z-C_2\right)}}[/tex]
og jeg klør meg forsatt i hodet...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Takk igjen!plutarco wrote:Ser ut som det er vanskelig å finne en eksplisitt løsning, ja. Du kan alltids omskrive til et system og analysere det i faseplanet. Jeg har ihvertfall ingen andre gode forslag, sånn på sparket.
Analysere i faseplanet, vet jeg ingenting om (kan google det!).
Er bare så irriterende når jeg har skjønt det meste av utredninga:
Så skriver boka så "lett" ang (*), dvs den 2. ordens ikke-lineære ODE:
denne er matematisk integrerbar.
Vel, boka er skrevet av en fransk nobelprisvinner i fysikk...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Forslag til faseplanløsning:
[tex]\frac{1}{z} - z^{\prime \prime}= C[/tex]
[tex]z^{\prime \prime} = \frac{1}{z} - C[/tex]
Vi kan da definere:
[tex]z^\prime = v[/tex]
[tex]v^\prime = \frac{1}{z} - C[/tex]
Av dette ser vi at likevektspunkt inntreffer når [tex]v= 0[/tex] og [tex]z = \frac{1}{C}[/tex].
Definerer:
[tex]F(z,v) = v[/tex]
[tex]G(z,v) = \frac{1}{z} + C[/tex]
Dette gir:
[tex]\frac{\partial F}{\partial z} = 0[/tex]
[tex]\frac{\partial F}{\partial v} = 1[/tex]
[tex]\frac{\partial G}{\partial z} = -\frac{1}{z^2}[/tex]
[tex]\frac{\partial G}{\partial v} = 0[/tex]
Definerer matrisen:
[tex]J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{1}{z^2} & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Ved likevektspunktet får vi da:
[tex]J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -C^2 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Og egenverdiene er gitt ved:
[tex]\lambda^2 = -C^2[/tex]
Dette vil dermed gi et senterpunkt.
[tex]\frac{1}{z} - z^{\prime \prime}= C[/tex]
[tex]z^{\prime \prime} = \frac{1}{z} - C[/tex]
Vi kan da definere:
[tex]z^\prime = v[/tex]
[tex]v^\prime = \frac{1}{z} - C[/tex]
Av dette ser vi at likevektspunkt inntreffer når [tex]v= 0[/tex] og [tex]z = \frac{1}{C}[/tex].
Definerer:
[tex]F(z,v) = v[/tex]
[tex]G(z,v) = \frac{1}{z} + C[/tex]
Dette gir:
[tex]\frac{\partial F}{\partial z} = 0[/tex]
[tex]\frac{\partial F}{\partial v} = 1[/tex]
[tex]\frac{\partial G}{\partial z} = -\frac{1}{z^2}[/tex]
[tex]\frac{\partial G}{\partial v} = 0[/tex]
Definerer matrisen:
[tex]J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{1}{z^2} & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Ved likevektspunktet får vi da:
[tex]J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -C^2 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Og egenverdiene er gitt ved:
[tex]\lambda^2 = -C^2[/tex]
Dette vil dermed gi et senterpunkt.
takk skal du ha Mr., virka interessant dette, skal prøve å se om jeg forstår etterhvert...krje1980 wrote:Forslag til faseplanløsning:
[tex]\frac{1}{z} - z^{\prime \prime}= C[/tex]
[tex]z^{\prime \prime} = \frac{1}{z} - C[/tex]
Vi kan da definere:
[tex]z^\prime = v[/tex]
[tex]v^\prime = \frac{1}{z} - C[/tex]
Av dette ser vi at likevektspunkt inntreffer når [tex]v= 0[/tex] og [tex]z = \frac{1}{C}[/tex].
Definerer:
[tex]F(z,v) = v[/tex]
[tex]G(z,v) = \frac{1}{z} + C[/tex]
Dette gir:
[tex]\frac{\partial F}{\partial z} = 0[/tex]
[tex]\frac{\partial F}{\partial v} = 1[/tex]
[tex]\frac{\partial G}{\partial z} = -\frac{1}{z^2}[/tex]
[tex]\frac{\partial G}{\partial v} = 0[/tex]
Definerer matrisen:
[tex]J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{1}{z^2} & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Ved likevektspunktet får vi da:
[tex]J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -C^2 & 0 \end{bmatrix}[/tex]
Og egenverdiene er gitt ved:
[tex]\lambda^2 = -C^2[/tex]
Dette vil dermed gi et senterpunkt.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Et tips -
Dersom du jobber mye med andreordens differensialligninger, eller systemer med differensialligninger, så kan du få mye hjelp gjennom å bruke applikasjonen pplane som kan lastes ned på nettet. Du kan enten laste ned Matlab versjonen eller kjøre en Java versjon direkte over nettet. Da får du svært gode illustrasjoner av faseplanet (som viser sammenhengen mellom x og y hvor begge f.eks. parametriseres av en variabel t for tid).
Dersom du jobber mye med andreordens differensialligninger, eller systemer med differensialligninger, så kan du få mye hjelp gjennom å bruke applikasjonen pplane som kan lastes ned på nettet. Du kan enten laste ned Matlab versjonen eller kjøre en Java versjon direkte over nettet. Da får du svært gode illustrasjoner av faseplanet (som viser sammenhengen mellom x og y hvor begge f.eks. parametriseres av en variabel t for tid).