Bestem a slik at brøken kan forkortes

[javelja]

Sliter med følgende oppgave:

Bestem a slik at brøken kan forkortes

[tex]\frac{x^2-2x-3}{x^2-4x+a}[/tex]

Over brøkstreken er greit. Faktorisering av brøken gir

[tex](x-3)(x+1)[/tex]

Resonnementet mitt så langt er følgende: for at brøken skal kunne forkortes må faktoriseringen under brøkstreken være

[tex]x^2-4x+a=(x-3)(x+a)[/tex]

eller

[tex]x^2-4x+a=(x-a)(x+1)[/tex]

Så stopper det hele opp. Har forsøkt et utall utregninger, men går meg bare vill. Er premisset for tankegangen min feil? Kan noen peke meg i riktig retning?

Takk for hjelpen.

[Aleks855]

Vi vet at i [tex]ax^2+bx+c[/tex] så er [tex]b[/tex] lik summen av tallene i parantesen og c er produktet av tallene.

I tilfellet [tex]x^2-2x-3[/tex] så er [tex]b = -2[/tex] som er summen av (-3) og 1. Disse to tallene ligger i faktoriseringen din, (x-3)(x+1).

Se på nevneren, der [tex]b=(-4)[/tex]. Hvis du vil bruke (x-3) som faktor, så må (x-1) være den andre faktoren, for da har vi (-3) og (-1) i parantesene, som tilsammen blir (-4).

c-leddet er produktet av disse to. [tex](-3) \cdot (-1) = 3[/tex]

[tex]a=3[/tex]

Prøv det samme med den andre faktoren, for å forsikre deg om at du kan det.

Si fra hvis noe er uklart!

[javelja]

Tusen takk for svar!

Jobber med 1T som privatist, og denne oppgaven falt under Blandede oppgaver til kapittelet om funksjoner og andregradslikninger.

I teoridelen av boken (Sinus 1T) står det ikke nevnt at b er lik summen av tallene i parentesen og at c er lik produktet av de samme tallene. Er dette noe som det forutsettes at man skal skjønne av seg selv? Jeg ser det jo nå som jeg er oppmerksom på det, men tidligere har jeg ikke tenkt på det.

[malef]

Kan man ikke bare kjøre på med abc-formelen her?

[tex]\begin{align*}x=\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot a}}{2 \cdot 1} \\=\frac{4 \pm \sqrt{16-4a}}{2}\\=\frac{4\pm \sqrt{4(4-a)}}{2}\\\end{align*}[/tex]

Og så sette uttrykket lik 3 (som vi fikk som svar da vi faktoriserte telleren med abc-formelen):

[tex]\begin{align*}\frac{4\pm \sqrt{4(4-a)}}{2}=3 \\4 \pm \sqrt{4(4-a)}=6 \\\pm \sqrt{4(4-a)}=2 \\\pm 4(4-a)=4 \\4-a=\pm 1 \\a=3 \ \vee \ a=-3\end{align*}[/tex]

Ser at jeg får et svar mer enn deg ... Har jeg eventuelt gjort noe feil her?

[Vektormannen]

Ja, du opphøyer i andre på begge sider. Hva skjer med det tilfellet der det er minustegn foran venstresiden da?

[malef]

Selvsagt, ja Det blir bare positivt. Og da sitter vi igjen med kun svaret a=3 Er metoden min ok da?

[Vektormannen]

Ja, den er grei den.

[malef]

Takk for hjelpen! Da blior det altså slik:

[tex]\begin{align*}\frac{4\pm \sqrt{4(4-a)}}{2}=3 \\4 \pm \sqrt{4(4-a)}=6 \\\pm \sqrt{4(4-a)}=2 \\4(4-a)=4 \\4-a=1 \\a=3\end{align*}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Noen grunn til at dere overkompliserer ?
faktorisering av teller gir [tex](x+1)(x-3)[/tex]

Slik at dersom brøken kan forkortes er enten [tex]x=-1[/tex][tex] \: [/tex] eller [tex]x=3[/tex][tex]\:[/tex] en rot i polynomet i nevner.

Vi setter [tex]\ f(x) = x^2 - 4x + a [/tex][tex]\:[/tex] og ser at
[tex]f(-1) = 5 + a[/tex][tex] \: [/tex] og [tex]\ f(3) = -3 + a[/tex]

Så [tex]\ f(-1) [/tex][tex]\:[/tex] er et nullpunkt dersom [tex] \ a=-5 [/tex][tex]\:[/tex] og [tex]\ f(3) [/tex][tex]\:[/tex] er et nullpunkt dersom [tex]\ a=3 \[/tex]

Dermed kan brøken forkortes dersom [tex]\ a=-5 [/tex][tex]\:[/tex] eller [tex] \ a=3 [/tex]

[Fibonacci92]

Overkompliserer sikkert for å holde det innenfor pensumet til 1T. Din metode blir vel ikke gått gjennom før i R1.

[malef]

Jeg gjør dessverre bare som jeg har vett til ... Derfor er jeg veldig takknemlig for både din og Aleks855 sin metode

[malef]

Er det forresten slik at sensor gjerne vil se «1T-løsninger» på 1T-eksamen, altså løsninger der man kommer i mål med det som er pensum i 1T?

[Nebuchadnezzar]

Jeg brukte noen rimelig "heavy" greier når jeg tok T1 som privatist, og jeg fikk toppkarakter...

Du skal vise at du behersker læremålene i pensum, og om du viser kompetanse utover dette skader det ikke.

EDIT: Og det med at teller og nevner må ha felles faktorer for å kunne faktorises vil jeg ikke kalle utenfor 1T pensum. Men heller sunn fornuft!

[Fibonacci92]

Det er vel sånn at dersom de spesifiserer i oppgaven at du skal løse noe ved å bruke en bestemt fremgangsmåte, så må du bruke den fremgangsmåten. Hvis ikke står det vel ganske fritt hvordan du løser oppgaven vil jeg anta.

[Aleks855]

Ja, enig med Nebu og Fibo her. Jeg har også brukt metoder som går utafor det pensumet som gjaldt for det kurset, og fått toppkarakter.

Men som Fibo nevner; hvis oppgaven ber om at du bruker en viss metode, så MÅ du bruke den. Du kan eventuelt løse den på flere måter for å hente inn litt ekstrapoeng, men du må gjøre som oppgaven sier i første omgang