Sannsynlighet " minst "

[Tapakron]

Jeg har 2 spørsmål…. for det første…. Hvis oppgaven spør om…. " minst 2 sekser " (terning kast" da er det vanlig å ta 1 - "høyst 1 sekser" ikke sant?
Men i den tilfellen her….
Her er oppgaven:
En bestemt type frø spirer med 70% sannsynlighet. Vi sår 20 frø og ser om de spirer. Hvert frø spirer med 70 % sannsynlighet, og spirer ikke med 30 % sannsynlighet.
Hva er sannsyligheten for at:
a) 17 frø vil spire
b) 18 frø vil spre
c) 19 frø vil spire
d) 20 frø vil spire
e) minst 17 frø vil spire

Jeg har klart oppgave a-d, men ikke " e ". Ordet minst, i den tilfellen her… jeg lurer på om hva jeg skal gjøre her…. Svaret er 10,7. Men jeg får det ikke til.
Jeg prøvde ved å pluss svare til oppgave a +b +c +d, men får ikke 10,7 som svar. Så jeg er litt usikker på hvordan jeg skal løse denne oppgaven her.

Help? :S

[2357]

Du skal få fasitsvaret med fremgangsmåten du beskriver. Kan du oppgi tallene du brukte?

[Tapakron]

ehm… jeg har bare fasitt, som står bak i boka… men jeg har ikke fremgangsmåten… det er det som er problemet.
Hvilke tall var det du mente?

[2357]

Jeg prøvde ved å pluss svare til oppgave a +b +c +d

Disse tallene.

[Tapakron]

åja

a) 20 C 17 * 0,7^17 * 0,3 ^3 = 0,0716
b) 20 C 18 * 0,7^18 *0,3^2 = 0,0278..
c) 20 C 19 * 0,7^19 * 0,3^1 = 0,0068
d) 20 C 20 * 0,7^20 = 0,00079..
Hm…. åja… sant sant…. når jeg plusser alle de svarene sammen, får jeg 10,7%

Men oppgave e) minst 17 frø vil spire…

Den fremgangsmåten…. er ikke dette på en måte " høyst" ?
jeg trodde " minst" er slik at man tar 1 - P(høyst )


Så nå…. skjønner jeg ikke helt….. Hva er egentlig forskjell mellom høyst og minst? og fremgangsmåten….. :S

[Nebuchadnezzar]

minst 5 betyr 5 eller høyere

minst 4 på terningen betyr 4, 5 eller 6. Slik at minst 17 betyr

P(17)+P(18)+...+P(20)

[Tapakron]

åja….. da lurer jeg på… i den tilfellen her……. " hva er sannsynlig for at 15 høyst 15 frø vil spire….

betyr det at jeg må regne ut fra 0 frø, 1 frø, 2 frø og så videre til 15 og plusse sammen svarene?

[Nebuchadnezzar]

Ja, det er riktig =)

Dog finnes det smartere måter å gjøre det på òg.

[tex]\Large \underbrace{P(1) \, + \, P(2) \, + \, ... \, + \, P(15)}_{P(X\,\leq\,15)} \, + \, ... \, + \, P(20) \, = \, 1[/tex]

[tex]P(X\,\leq\,15) \, + \, P(16) \, + \, ... \, + \, P(20) \, = \, 1[/tex]

[tex]P(X\,\leq\,15) \, = \, 1 \, - \, \bigl[ P(16) \, + \, ... \, + \, P(20) \bigr][/tex]

Høyre side er enklere å regne ut enn venstre.

[Tapakron]

åja…
men den smarte måten… det virker veldig bra, men jeg forstår det ikke helt….
P(1) + P(2) + … + P(15) den mellom rom… er det lizm pluss videre til 15?
Og jeg forstår ikke P(X < 15 )

Kan du forklare og vise meg hvordan man bruker den formelen?
Den formelen kan være veldig nyttig for meg, for jeg skal ha matte tentamen snart

[Nebuchadnezzar]

"Trikset" er at den totalle sannsynligheten alltid er [tex]1[/tex]. Slik at summen av alle sannsynlighetene er alltid er [tex]1[/tex].

Og ja, [tex]P(x\,\leq\,15)[/tex] betyr sannsynligheten for at [tex]15[/tex] eller færre frø spirer. Dette er en hendig skrivemåte siden det å skrive

[tex]P(x\,\leq\,15) \, = \, P(1) \, + \, P(2) \, + \, P(3) \, + \, P(4) \, + \, P(5) \, + \, P(6) \, + \, P(7) \, + \, P(8) \, + \, P(9) \, + \, P(10) \\ \, + \, P(11) \, + \, P(12) \, + \, P(13) \, + \, P(14) \, + \, P(15)[/tex]

Tar lang tid å skrive, og er veldig kjedelig.

Så siden den totalle sannsynligheten er 1. Så er

[tex]P(1) \, + \, P(2) \, + \, P(3) \, + \, P(4) \, + \, P(5) \, + \, P(6) \, + \, P(7) \, + \, P(8) \, + \, P(9) \, + \, P(10) \, + \, P(11) \, + \, P(12) \\ \, + \, P(13) \, + \, P(14) \, + \, P(15) \, + \, P(16) \, + \, P(17) \, + \, P(18) \, + \, P(19) \, + \, P(20) = 1[/tex]

Så kan vi bare flytte over en haug med ledd slik at vi har

[tex]P(1) \, + \, P(2) \, + \, P(3) \, + \, P(4) \, + \, P(5) \, + \, P(6) \, + \, P(7) \, + \, P(8) \, + \, P(9) \, + \, P(10) \, + \, P(11) \, + \, P(12) \\ +\, P(13) \, + \, P(14) \, + \, P(15) \, = 1 - \bigl[ + \, P(16) \, + \, P(17) \, + \, P(18) \, + \, P(19) \, + \, P(20) \bigr][/tex]

Så venstre og høyre side er like... Slik at om du regner ut vestre siden må du regne sammen 15 summer. Mens på høyresiden trenger du bare regne sammen 5 summer.

Og ja, jeg elsker prikker... Prikker innen matematikken bruker en, fordi alle er late. Så skriver en

1 + 2 + ... + 99 + 100

Så er det underforstått at en skal legge sammen alle tallene fra en til hundre.

Og ja jeg gidder ikke regne ut de fem summene for deg, men de har du allerede regnet ut

[Tapakron]

Wow, det var kjempe smart!
Jeg har sittet og jobbet med sannsynlighets oppgaver i hele dag! Så jeg fortsetter i morgen. Det trikset der er utrolig smart.

Tusen tusen takk!