Dette beviset er kanskje noe rutine, men jeg setter pris på om noen kunne se kjapt gjennom det og se om det ennå er noen hull som må tettes. På forhånd takk.
La [tex]\phi:G\,\rightarrow\,G^\prime[/tex] være en homomorfi, og la [tex]H\subseteq \ker\,\phi\subseteq G[/tex] være en normal undergruppe av G og la [tex]\pi\,:\,G\,\rightarrow G/H[/tex] være den kanoniske projeksjonen. Vis at da finnes det en unik homomorfi [tex]\tilde{\phi}:G/H\,\rightarrow G^\prime[/tex] slik at [tex]\phi = \bar{\phi}\circ \pi[/tex].
Bevis:
La [tex]i\,:\,H\,\rightarrow G[/tex] være inklusjonshomomorfien. Sekvensen [tex]0\,\rightarrow\,H\,\stackrel{i}{\rightarrow},G\,\stackrel{\pi}{\rightarrow}\,G/H\,\rightarrow\,0[/tex] er eksakt, så [tex]i\circ\pi=0[/tex], den trivielle homomorfien. Siden [tex]H[/tex] er normal, kan vi også identifisere [tex]G/H=\rm{coker}\,i[/tex]. Per definisjon finnes det da for enhver homomorfi [tex]\psi\,:\, G\,\rightarrow K[/tex] slik at [tex]i\circ \psi =0[/tex], en unik homomorfi [tex]\bar{\psi}\,:\,G/H\,\rightarrow K[/tex] slik at [tex]\psi =\bar{\psi}\circ\pi[/tex]. Ettersom [tex]H\subseteq \ker \phi[/tex], er [tex]i\circ \phi=0[/tex], og dermed eksisterer [tex]\bar{\phi}[/tex]. Entydighet følger dermed av at [tex]\pi[/tex] er en epimorfi fordi den er surjektiv.
Da gjenstår bare å vise at [tex]G/H[/tex] faktisk er kokjernen til [tex]i[/tex]. La derfor [tex]i\circ \psi = 0[/tex]. Da er [tex]H\subseteq \ker\,\psi[/tex]. For [tex]g\in G[/tex] har vi [tex]\pi(g) = g\ker\,i=gH[/tex], så kommutativitet [tex]\bar{\psi}\circ\pi = \psi[/tex] tvinger [tex]\bar{\psi}(gH)=\psi(g)[/tex], som er veldefinert fordi [tex]H\subseteq \ker\,\psi[/tex]. Vi har dermed konstruert en unik homomorfi [tex]\bar{\psi}[/tex] slik at [tex]\psi=\bar{\psi}\circ\pi[/tex] for en vilkårlig [tex]\psi[/tex], så [tex]G/H=\rm{coker}\,i[/tex].
