Grenseverdi (arctan)

[Jerry]

Jeg sliter med å bevise følgende:

lim [sub]x-> - uendelig[/sub] for [ ((1/4)x - tan[sup]-1[/sup](1+x)) - ((1/4)x - ([pi][/pi]/2)) ] = 0

[Solar Plexsus]

lim[sub]x -> -∞[/sub] [( (x/4) - tan[sup]-1[/sup](1 + x) ) - ( (x/4) - ([pi][/pi]/2) )]

= lim[sub]x -> -∞[/sub] [ (x/4) - tan[sup]-1[/sup](1 + x) - (x/4) + ([pi][/pi]/2) ]

= lim[sub]x -> -∞[/sub] [ - tan[sup]-1[/sup](1 + x) + ([pi][/pi]/2) ]

= ([pi][/pi]/2) - lim[sub]x -> -∞[/sub] tan[sup]-1[/sup](1 + x)

= ([pi][/pi]/2) - (-[pi][/pi]/2)

= ([pi][/pi]/2) + ([pi][/pi]/2)

= [pi][/pi].

Som du ser får jeg ikke null til svar. Er du sikker på at du har brukt korrekt fortegn på [pi][/pi]/2 og ∞ i første linje?

[Jerry]

Hm, oppgaven sier vis at linjene y = (1/4)x - ([pi][/pi]/2) og y = (1/4)x + ([pi][/pi]/2) er skrå asymptoter til grafen f(x) = (1/4)x - tan[sup]-1[/sup](1+x). Er det ikke rett da?

[Solar Plexsus]

Her må du vise to ting:

(1) lim [sub]x -> -∞[/sub] [ f(x) - ( (x/4) + ([pi][/pi]/2) ) ] = 0

(2) lim [sub]x -> ∞[/sub] [ f(x) - ( (x/4) - ([pi][/pi]/2) ) ] = 0.

Ved å skifte fortegn på [pi][/pi]/2 i den utregningen jeg gjorde i mitt første innlegg, vil du får beviset for (1).