Resten ved divisjoner

[NiclasHellesenL]

Lurte litt på et triks til å løse en oppgave litt enklere enn det jeg er i stand til nå.

Oppgaven låter:

Finn resten når vi dividerer tallet med [tex]5[/tex].

[tex]136487[/tex]

Boka sier noe som at tallet gir samme rest som tverrsummen av tallet.
så jeg forsøkte:

[tex]136487\equiv29\,(mod\,5)[/tex]

[tex]136487\equiv4\,(mod\,5)[/tex]

Dette blir jo ikke riktig. Mtp at 3 passer og ikke 4. Alike vell har det vert suksessfullt å bruke denne måten på 4 andre oppgaver.
Fungerer ikke metoden på alle oppgavene, (nok bare at 1 feiler), så er det ikke riktig måte å gjøre det på, trur jeg

Jeg kommer frem til 3 ved å

[tex]10\equiv1\,(mod\,5)[/tex]

[tex]10\cdot8\equiv1\cdot8\,(mod\,5)[/tex]

[tex]80\equiv3\,(mod\,5)[/tex]

[tex]80+10^{2}\equiv3+1^{2}\,(mod\,5)[/tex]

[tex]80+10^{2}\cdot4\equiv3+1^{2}\cdot4\,(mod\,5)[/tex]

[tex]80+400\equiv3+4\,(mod\,5)[/tex]

[tex]480+10^{3}\equiv7+1^{3}\,(mod\,5)[/tex]

[tex]480+10^{3}\cdot6\equiv7+1^{3}\cdot6\,(mod\,5)[/tex]

[tex]6480\equiv13-2\cdot5\,(mod\,5)[/tex]

[tex]6480+10^{4}\equiv3+1^{4}\,(mod\,5)[/tex]

[tex]6480+10^{4}\cdot3\equiv3+1^{4}\cdot3\,(mod\,5)[/tex]

[tex]36480\equiv1\,(mod\,5)[/tex]

[tex]36480+10^{5}\equiv1\,(mod\,5)[/tex]

[tex]136480\equiv1+7\,(mod\,5)[/tex]
Resten ble da 3.
Men denne måten her blir litt for lang med tanke på at tallenes størrelse øker. I neste deloppgave e, skal jeg finne resten i tallet 345675786245 når det blir delt på 2,3,5 og 9.
Hva kan være den korteste måten å løse slike oppgaver på?

[2357]

Når du skal finne resten ved divisjon med 5, er det nok å se på det siste sifferet. Dette er enkelt å se. Hvis det tresifrede tallet med sifrene [tex]a_1[/tex], [tex]a_2[/tex] og [tex]a_3[/tex] er [tex]a_1a_2a_3,[/tex] kan du skrive det som [tex]10a_1a_2 + a_3[/tex]. Der man lett ser at det første leddet gir null i rest. Dette lar seg enkelt utvide til mer generelle tall.

På tilsvarende vis kan du se at resten ved divisjon med 2 er 0 om du har et partall, og 1 om tallet er et oddetall.

[NiclasHellesenL]

Er ikke helt sikker på om jeg forstod.

Si at jeg skal bruke det på tallet 136487.

Blir det [tex]10\cdot 13648+7[/tex]
[tex]\frac{7}{5}[/tex] gir vel 2 i rest?
[tex]7\equiv2\,(mod\,5)[/tex]

Hvordan går jeg vidre herfra? :)

[2357]

Du er ferdig. Resten er 2.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=136487%2F5

[Nebuchadnezzar]

Du fikk riktig svar i hvert fall, om metoden din er riktig skal jeg ikke kommentere. Da den fremgangsmåten til 2357 er litt ukjent for meg.

Men ja er tallet partall så gir det rest 0 når du deler det på 2. Er det odde blir resten 0.

Om tallet slutter på 5 eller 0 er det delelig på 5.

Er tversummen av tallet delelig på 3 er også tallet delelig på 3.
Er den alternerende tversummen av tallet delelig på 11 er også
tallet delelig på 11. Osv

Har du kalkulator er det dog veldig enkelt å finne resten ved å bruke at

[tex]136487-5 \cdot \text{floor}(136487/5) = 2[/tex]

Hvor floor er funksjonen som alltid runder ned. For eksempel så er

[tex]\text{floor}(pi) = 3 \: , \: \text{floor}(100/3) = 33 \: , \: floor(1/6)=1[/tex] osv
slik at for lave tall (tall mindre enn [tex]10^8[/tex] og [tex]10^7[/tex]) er det like greit å bruke at

[tex]a \equiv c \pmod{p} \ \Longleftrightarrow \ c = a - p \cdot \text{floor}(a/p)[/tex] der
[tex]a>c[/tex]

Og jeg har aldri hørt om at tversummen av et tall generelt sett har samme rest som selve tallet :p Bare når det gjelder 3.

[Brahmagupta]

Alle tall som slutter på 5 eller 0 er delelig på 5. Siden du kan trekke fra og legge til et multiplum av 5 når du regner modulo 5 kan du skrive følgende.
[tex]x\equiv 136487 (mod 5)[/tex]
[tex]x\equiv 136487-136485 (mod 5)[/tex]
[tex]x\equiv 2 (mod 5)[/tex]

Altså er resten 2
Dette du nevner om tverrsummen gjelder ikke når du regner modulo 5, men det gjelder mod 3 og mod 9.

[Brahmagupta]

Jeg kommer frem til 3 ved å

[tex]10\equiv1\,(mod\,5)[/tex]

Utgangspunktet for utregningen er ikke riktig. 1 er ikke konkruent med 10 mod 5.

[NiclasHellesenL]

Takk skal dere ha. Det var kjempe flott \(^^)/

[NiclasHellesenL]

Brahmagupta, jeg tenkte [tex]\frac{10}{5}=2 [/tex] og [tex]\frac{1}{5}=0,2[/tex]. Øyet festet seg på toerene =P

[Brahmagupta]

Ser det :p Det handler bare om komme inn i riktig tankegang.