Rombe
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Tusen takk, hadde ikke tenkt på å konstruere en 90grader for å sjekke 
men dette teller vel ikke som et generelt bevis for alle romber? Er det ikke mulig å vise det enten ved vinkelsummen i trekanter, firkanter, toppvinkler, osv. eller med vektorer?
men dette teller vel ikke som et generelt bevis for alle romber? Er det ikke mulig å vise det enten ved vinkelsummen i trekanter, firkanter, toppvinkler, osv. eller med vektorer?Du kan lage så mange romber du bare vil. Så lenge alle sidene er like lange, og hver side har en motstående side som er parallell (hvilket definerer romben), så vil diagonalene i romben alltid stå vinkelrett på hverandre.
Om sidene ikke hadde vært like lange, ville diagonalene ikke stått vinkelrett på hverandre, men da hadde det heller ikke lenger vært en rombe.
Om sidene ikke hadde vært like lange, ville diagonalene ikke stått vinkelrett på hverandre, men da hadde det heller ikke lenger vært en rombe.
-
Brahmagupta
- Guru
- Posts: 628
- Joined: 06/08-2011 01:56
En rombe er definert ved at alle sider er like lange og to og to motstående sider er parallelle. Det som er gjort ovenfor kan ikke regnes som et formelt bevis. Dette kan dog gjøres på mange forskjellige måter. Her er et eksempel:
Sett figuren inn i første kvadrant i et koordinatsystem, med et hjørne i origo og en side langs x- aksen. Sidelengden er a og høyden b.
Dette gir hjørnene følgende koordinater:
[tex]A(0,0), B(a,0), C(\sqrt{a^2-b^2}+a,b), D(\sqrt{a^2-b^2},b)[/tex]
[tex]\vec{AC}=[\sqrt{a^2-b^2}+a,b][/tex]
[tex]\vec{BD}=[\sqrt{a^2-b^2}-a,b][/tex]
[tex]\vec{AC}\cdot\vec{BD}=(\sqrt{a^2-b^2})^2-a^2+b^2=0[/tex]
Hvilket vil si at diagonalene står vinkelrett på hverandre.
Evt enda enklere: [tex]\vec{AD}=\vec{BC}=\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{AB}=\vec{DC}=\vec{v}[/tex]
[tex]\vec{AC}=\vec{v}+\vec{u}[/tex]
[tex]\vec{DB}=-\vec{u}+\vec{v}[/tex]
Tar man så skalarproduktet mellom disse ender man opp med
[tex](\vec{v})^2-(\vec{u})^2=0[/tex]
Dette blir null siden skalarproduktet mellom en vektor og seg selv bare blir lengden kvadrert og begge disse to vektorene er like lange ut fra definisjonen av romben.
Det er også mulig å vise det ved pytagoras eller trigonometri.
Sett figuren inn i første kvadrant i et koordinatsystem, med et hjørne i origo og en side langs x- aksen. Sidelengden er a og høyden b.
Dette gir hjørnene følgende koordinater:
[tex]A(0,0), B(a,0), C(\sqrt{a^2-b^2}+a,b), D(\sqrt{a^2-b^2},b)[/tex]
[tex]\vec{AC}=[\sqrt{a^2-b^2}+a,b][/tex]
[tex]\vec{BD}=[\sqrt{a^2-b^2}-a,b][/tex]
[tex]\vec{AC}\cdot\vec{BD}=(\sqrt{a^2-b^2})^2-a^2+b^2=0[/tex]
Hvilket vil si at diagonalene står vinkelrett på hverandre.
Evt enda enklere: [tex]\vec{AD}=\vec{BC}=\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{AB}=\vec{DC}=\vec{v}[/tex]
[tex]\vec{AC}=\vec{v}+\vec{u}[/tex]
[tex]\vec{DB}=-\vec{u}+\vec{v}[/tex]
Tar man så skalarproduktet mellom disse ender man opp med
[tex](\vec{v})^2-(\vec{u})^2=0[/tex]
Dette blir null siden skalarproduktet mellom en vektor og seg selv bare blir lengden kvadrert og begge disse to vektorene er like lange ut fra definisjonen av romben.
Det er også mulig å vise det ved pytagoras eller trigonometri.
