Bestemme summen av 1/(k^2 - a^2)

[Nebuchadnezzar]

Hvordan viser jeg at summen av rekken

[tex]S = { \Large \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2 - a^2} } \, = \, \frac{1}{2a} \, \left[ \frac{1}{a} \, - \, \pi \:\!\! \cot{( a \pi)} ] [/tex]

dersom [tex]0<a<1[/tex] ? Prøvde å delbrøkoppspalte den, men kom ikke frem til noe lurt...

[svinepels]

Står oppgaven i analyseboka e.l.? Får følelsen av at den er litt utenfor pensum, minner meg om sånne rekker man trenger Fourier-teori for å leke seg med.

[Nebuchadnezzar]

Er nok litt utover analysepensumet ja, dog fikk jeg et smart tips om hvordan denne likheten kunne vises.

Vi begynner med å se på den uendelige summen som Euler først viste.
Nemlig

[tex]\sin(\pi x) = \pi x \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{k^2}\right)[/tex]

Et bevis for denne formelen kan for eksempel sees her http://math.stackexchange.com/questions ... 8186#18186

Vi tar nå logaritmen på begge sider

[tex]\log \left[ \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right] \, = \, \log \left[ \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{k^2}\right) \right] [/tex]

Så tar vi og deriverer begge sider. Først en liten sporadisk avledning hvor vi ser nærmere på derivasjon av logaritmer.

[tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \log\left( f g \right) \, = \, \frac{f \prime }{f} + \frac{g \prime }{g}[/tex] og selvsagt [tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \log\left( \frac{f}{g}\right) \, = \, \frac{f \prime }{f} - \frac{g \prime }{g}[/tex]

Slik at venstresiden blir lik

[tex] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \log \left[ \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right] = \frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)} - \frac{\pi}{\pi x} = \cot(\pi x) - \frac{1}{x}[/tex], mens høyresiden gir oss noe liknende. Hvor vi generaliserer produktregelen. [tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log(a_1 \, \dots \, a_n) = \frac{(a_1)^\prime}{a_1} \, + \, \dots \, + \, \frac{(a_n)^\prime}{a_n}[/tex] Så høyresiden vår blir

[tex] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \log \left[ \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{x^2}{k^2}\right) \right] = \frac{2x/1^2}{1-x^2/1^2} \, + \, \frac{2x/2^2}{1-x^2/2^2} \, + \, \dots = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2x/k^2}{1-x^2/k^2} = 2x \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2-x^2} [/tex]

Setter vi nå sidene like, får vi

[tex]\cot(\pi x) - \frac{1}{x} \, = \, 2x \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2-x^2}[/tex]

Som gir oss relasjonen vi var ute etter

[tex]\frac{1}{2x} \left[ \cot(\pi x) - \frac{1}{x} \right] \, = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2-x^2}[/tex]

Nå er det sikkert noen andre som er mye flinkere enn meg som kan fylle inn detaljer. Eksempelvis hvorfor vi begynner å ser på identiteten til euler. Alternativt kunne vi vel også sett på rekken til [tex]\cot(\pi x) [/tex]men dette ser jeg på som like "magisk".