Differensiallikning av første orden

[Arctagon]

Eirik tar melk ut av kjøleskapet (3 °C) og setter den i romtemperatur (24 °C). Like etter stiger temperaturen i melka med 1.5 °C i løpet av 10 min.

a) Forklar at differensiallikningen blir

[tex]y^{\prime} = \frac{5}{700}(24 - y)[/tex]

Her har jeg fulgt et eksempel i boka, som sier at avkjølingsloven gir [tex]y^{\prime} = k \cdot (24 - y)[/tex]. Ved [tex]x = 0[/tex] er [tex]y^{\prime} = 1.5[/tex] og [tex]y = 3[/tex], noe som gir [tex]1.5 = k \cdot (24 - 3) \Leftrightarrow k = \frac{1}{14}[/tex].

Dette stemmer ikke overens med det jeg skulle komme fram til.

[Aleks855]

Hmm...

Nå er jo din [tex]k=\frac{1}{14}[/tex] som igjen er lik [tex]\frac{5}{70}[/tex]

Sikker på at det ikke er en typo eller en feil-avlesning av noe slag? Det likner jo fælt på [tex]\frac{5}{700}[/tex]

[Arctagon]

Ja, jeg fant også ut at [tex]\frac{1}{14}[/tex] er ekvivalent med [tex]\frac{5}{70}[/tex], noe som åpenbart likner. Dersom dette dog er riktig, så står det i så fall feil i oppgaveteksten. Jeg har skrevet av helt riktig.

EDIT: Gratulerer med å runde 1000 innlegg!

[Aleks855]

Oj satan... Det la jeg ikke merke til

Uansett, nå har jeg ikke satt meg så veldig inn i oppgaven, men ut i fra det premisset du gir, så ser utregninga riktig ut. Jeg får legge to cents på typo i boka.

[Arctagon]

Slike oppgaver som dette pleier ikke å ha noen fasit, så jeg tok dermed for gitt at det var slik her også, men der tok jeg feil. Det de har gjort er å først konvertere [tex]y^\prime = 1.5 \, ^\circ\text{C}[/tex] per tiende minutt til [tex]y^\prime = 0.15 \, ^\circ\text{C}[/tex] per minutt. Det er ekvivalent med å dele [tex]k = \frac{5}{70}[/tex] med 10, som gir [tex]k = \frac{5}{700}[/tex]. Begge svarene er, etter min mening, riktige--en må bare huske å gange svaret en får i oppgave c (finne hvor lenge siden melka ble tatt ut når den har temperatur [tex]12 \, ^\circ\text C[/tex]) med 10, dersom en går for den førstnevnte.

Jeg har et annet spørsmål når det gjelder denne oppgaven. Oppgave b sier kun 'Løs likningen i a', intet mer, intet mindre. Når oppgaven er formulert på den måten, er det naturlig for meg å tolke det som at jeg skal løse likningen generelt. I fasiten er det dog oppgitt den spesielle løsningen til likningen. Spørsmålet er altså: når jeg får beskjed kun om å løse likningen, skal jeg da løse den generelt eller spesielt?

[Arctagon]

Jeg liker ikke dette delkapittelet. Det er meningsløst. Jeg slenger på enda et spørsmål.

Radioaktiv nedbryting gir likningen
[tex]y^\prime + ky = 0[/tex]

b) [tex]^{131}I[/tex] har en halveringstid på 8.0 døgn. Bestem k.

Det jeg har problemer med her, er å vite hva jeg skal sette [tex]y^\prime[/tex], [tex]y[/tex] og eventuelt noe annet til her. [tex]y^\prime[/tex] er jo endring, og da tenker jeg på halveringstiden, men jeg vet ikke hvordan jeg skal uttrykke det som et eget ledd. [tex]y[/tex] tenker jeg på som utgangspunktet, men det blir også litt snålt i denne sammenhengen.

c) Vis at [tex]T_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln2}{k}[/tex].

Her vet jeg ikke engang hvor jeg skal begynne.

d) k er sannsynligheten for at en nuklide går i stykker. Finn sannsynligheten for at en nuklide går i stykker i løpet av ett døgn.

Samme som i c).

[Kork]

a)

y(x) er mengden etter x døgn, y(0) er startmengden, y(8) er mengden etter 8 døgn som er halveringstiden. Vi vet at mengden etter 8 døgn y(8) er halvparten så stor som mengden i starten.



b)

y(0) er startmengden og y(h) er halvparten så stor, altså må en halveringstid ha passert




c)
Dersom vi fremdeles snakker om stoffet 131 I:

Sjangsen for en nuklide blir ødlagt innen 24 timer:

[tex]$$k = \frac{{\ln 2}}{8}$$[/tex]



Gir dette mening? Ikke så klar oppgave

[Arctagon]

[tex]y(0) = 2y(8)[/tex]

Ooooh, den er smart. Den er skikkelig smart. Det tok litt tid før det gikk opp for meg hva du faktisk hadde gjort der. For å være på den sikre siden: ettersom y(8) er tiden det tar for stoffet å halvere seg, så er 2y(8) det dobbelte etter halveringen, dvs. det den var i utgangspunktet, og dermed oppfyller likningen. Er det dette du mener med 2y(8)?

[tex]Ce^{-k0} = 2Ce^{-k8} \Leftrightarrow k = \frac{\ln 2}{8}[/tex]

Litt stort step, men jeg prøver å se om jeg kommer fram:

[tex]Ce^{-k0} = 2Ce^{-k8}[/tex]

[tex]1 = 2e^{-k8}[/tex]

[tex]\ln{\left(\frac{1}{2}\right)} = \ln e^{-k8}[/tex]

[tex]-\ln 2 = -k8[/tex]

[tex]k = \frac{\ln 2}{8}[/tex]

b)

y(0) er startmengden og y(h) er halvparten så stor, altså må en halveringstid ha passert

Vil du si det vil sees på som gyldig å ta utgangspunkt i den forrige oppgaven her? 8 er jo antall døgn det tar for [tex]^{131}I[/tex] å halvere seg, altså lik [tex]T_{\frac{1}{2}}[/tex].

[tex]k = \frac{\ln 2}{8}[/tex]

[tex]k = \frac{\ln 2}{T_{\frac{1}{2}}}[/tex]

[tex]T_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln 2}{k}[/tex]

c)
Dersom vi fremdeles snakker om stoffet 131 I:

Sjangsen for en nuklide blir ødlagt innen 24 timer:

[tex]k = \frac{\ln 2}{8}[/tex]

Kunne du tenkt deg å forklare hvorfor dette er ekvivalent med sannsynligheten for at en nuklide blir ødelagt i løpet av ett døgn?

Gir dette mening? Ikke så klar oppgave :P

Det gir så mye mening som det kan gi. Og nei, det er jeg fullstendig enig i. :p

[Kork]

c)
Dersom vi fremdeles snakker om stoffet 131 I:

Sjangsen for en nuklide blir ødlagt innen 24 timer:

[tex]k = \frac{\ln 2}{8}[/tex]

Kunne du tenkt deg å forklare hvorfor dette er ekvivalent med sannsynligheten for at en nuklide blir ødelagt i løpet av ett døgn?

Vi må se på utgangspunktet:

[tex]$$y^\prime + ky = 0$$[/tex]
Forandringen per døgn (y') er negativ. Dersom k=1 ser vi at alt forsvinner på et døgn('y=-y) og sannsynligheten for at partikkelen forsvinner er lik 100%. Dersom k=1/2 ser vi at halvparten av y forsvinner på et døgn('y=-0.5y), sannsynligheten er 50% for at en partikkel forsvinner.



Forandringen er lik -ky, er k=1 er frafallet lik hele mengden y.

Er k=0.5 er frafallet lik halve mengden y.

[Arctagon]

Ah, det gir mening. Takk for hjelpen!