Vill vektoroppgave

[mikki155]

Har tentamen til onsdag, og har regnet gjennom alle eksamenene fra 08, i tillegg til noen tentamener. Har ikke hatt mange problemer, men jeg klarer rett og slett ikke å se hvordan denne oppgaven kan løses:

Punktene A(2,1) og B(8,3) er gitt.

d) Bestem koordinatene til et punkt C slik at avstanden fra C til den rette linja gjennom A og B er 2, og AC står vinkelrett på BC.

Vel, har prøvd parameterframstilling, sirkellikningen, gjort om AB til en likning, vektorregning m.m., men klarer ikke å få det til å stemme.

Jeg vet at den minste avstanden fra C til linjen er høyden i trekanten, altså at |PC| = 2, siden P er et punkt på linjen. Men da er jo også P ukjent. Uttrykte lengden som (x[sub]1[/sub]-x[sub]2[/sub])[tex]^2[/tex] + (y[sub]1[/sub]-y[sub]2[/sub])[tex]^2[/tex] = 4. I tillegg fant jeg en paramenterfremstilling for linja, og fant likningen for linja som y = 0,33x + 0,33, siden den skulle være rett. Har også uttrykt [tex]AC \cdot BC[/tex] = 0, og her blir x og y ukjente. Med sirkellikningen satt jeg radiusen lik 2, og valgte C som et tilfeldig punkt på linja, men dette stemte heller ikke.

Hadde satt veldig stor pris på litt hjelp her .

[Arctagon]

Hva er fasitsvaret?

[mikki155]

(2.04,3.12) , (6.69,4.67) , (3.31,-0.67) og (7.96,0.88)

[fuglagutt]

Ser ut som du kan finne svaret ved å sette opp tre likninger, er litt trøtt så orker ikke regne ut alt, men hovedidéen min går slik.

[tex]\vec {AB} = [6,2][/tex]

Sette punkt C = (x,y)
[tex]\vec {AC} = [x-2,y-1][/tex]
[tex]\vec {BC} = [x-8,y-3][/tex]

Vi setter så et punkt P på linja AB = (2+6t,1+2t)

Vi har nå 3 likninger som vi kan utnytte. AC og BC skal være vinkelrette, AB og CP skal være vinkelrette, og avstanden CP skal være lik 2.

Vi har også 3 ukjente, så etter litt regning bør det gå

[Vektormannen]

I stedet for å tenke på koordinatene til C som ukjente så kan du heller tenke på hvordan C ligger i forhold til A eller B. La P være dette punktet du nevner i posten din. Da kan du skrive [tex]\vec{AC} = \vec{AP} + \vec{PC}[/tex]. Punktet P er da slik at [tex]\vec{AP} \perp \vec{PC}[/tex], ikke sant? Vi kjenner ikke hva disse vektorene er, men vi vet at [tex]\vec{AP}[/tex] er parallell med [tex]\vec{AB}[/tex], og [tex]\vec{PC}[/tex] er parallell med en vektor som står normalt på [tex]\vec{AB}[/tex]. En vektor som er parallell med [tex]\vec{AB}[/tex] er [tex][3,1][/tex]. Da vil en vektor som er parallell med [tex]\vec{AB}[/tex] f.eks. være [tex]\vec{AB}^\perp = [1,-3][/tex], er du med på det?

Men da kan vi uttrykke [tex]\vec{AC}[/tex] med to parametere: [tex]\vec{AC} = \vec{AP} + \vec{PC} = s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AB}^\perp = s[3,1] + t[1,-3][/tex].

Den ene parameteren, t, kan vi lett finne. Vi vet jo at C skal ligge i en avstand 2 fra linja. Har du en idé om hvordan du kan bestemme t da? Videre kan du finne et lignende uttrykk for [tex]\vec{BC}[/tex], og så finne parameteren s som gjør at [tex]\vec{AC}[/tex] og [tex]\vec{BC}[/tex] står vinkelrett på hverandre.

[mikki155]

Jeg satt det opp akkurat som deg fuglagutt, men fikk det bare ikke til å stemme helt siden det ble tre ukjente.

Takker for svaret ditt også, vektormannen ^^

Skal gjøre oppgaven litt seinere, klarer den helt sikkert nå

[Nebuchadnezzar]

Enda en alternativ måte er som følger. Føler selv denne er veldig enkel men krever litt regning.

1. Finn midtpunktet mellom [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] (Ta gjennomsnittet av [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex]`s koordinater).
2. Finn ei linje som står normalt på linja gjennom [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex], og også går igjennom C. ( [tex]y = -3x + 17[/tex] )
3. Finn skjæringspunktet mellom linja [tex]y = -3x + 17[/tex] og sirkelen
[tex]( x - 5 )^2 + ( x - 2)^2 = 4[/tex]

[mikki155]

Takk, men mente du [tex](x-5)^2 + (y-2)^2 = 4[/tex] ?

Jeg legger ut noen bilder hvor jeg viser fremgangsmåte:

http://s11.postimage.org/4gyf9zplt/vilt.jpg
http://s18.postimage.org/v7al9q5yf/vilt1.jpg

På slutten der utnyttet jeg rett og slett Geogebra med at D (f. eks.) skulle stå vinkelrett på AB-linjen.

Sånn så det ut til slutt:



Alle har vel sin egen måte å gå frem på ^^ Beklager alt rotet i utregningene og unøyaktighetene, men jeg har historieprøve dagen etter tentamen, så fikk ikke gjort dette før på natta xP