Nivåkurver og gradientfelt

[hello]

Hei,

jobber med eksamensoppgaver og er på oppgave 2:http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_03k.pdf

Forstår ikke lf:http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4105 ... 05_03k.pdf
da løsningen til 2 ikke er begrunnet.

Kunne noen forklart meg dette?

Tenker spesielt på hvordan man ser at gradientfelt c hører til nivåkurve 3( og ikke til 2) og hvordan man ser hvilket funksjonsuttrykk som hører til nivåkurvene.

[Vektormannen]

Gradientvektoren i et punkt står alltid normalt på nivåkurven gjennom punktet. Ved å studere alternativene litt så ser vi da at I hører sammen med B og IV hører sammen med A. Og så er det som du sier at C er gradientfeltet til enten II eller III. Men da må vi huske på at lengen til gradientvektoren skal si noe om hvor raskt funksjonen stiger i punktet. Men kan du ikke si noe om hvor raskt kurven stiger ved å se på avstanden mellom nivåkurvene?

Når det gjelder funksjonsuttrykk så er noe av det første du bør se etter såkalt sirkelsymmetri, dvs. at du har et uttrykk på formen $x^2+y^2$ et sted i uttrykket ditt. Her har vi at $f(x,y)=(x^2+y^2{)}^{3/2}$. Det betyr at nivåkurvene er på formen $(x^2+y^2{)}^{3/2}=k\Rightarrow x^2+y^2=r^2=k^{2/3}$ -- de er altså sirkler! Da vet vi at f må være funksjonsuttrykket til enten II eller III. For å avgjøre hvilken det er så kan du se på sammenhengen mellom funksjonsverdien $k$ vi ser på, og hvilken radius $r$ nivåkurven får. For II øker radien med økende $k$. For III avtar den. Hvilken passer med relasjonen over mellom $r$ og $k$?

For å finne hvilken $g$ tilhører til kan du se på gradienten til $g$ (den er lett å regne ut.) Se på de to aktuelle gradientfeltene. Hva er det som skiller dem? Hvilken av dem passer $\mathrm{\nabla }g$ med? (Hint: hvordan oppfører feltene seg på y-aksen?)