Integrasjon ved delbrøkoppspalting

[Arctagon]

Min lærer har av en eller annen grunn ikke lagt ut løsningsforslag til tentamen (løsningsforslag til utsatt tentamen har han riktignok lagt ut), så jeg vet ikke om jeg får riktig når jeg regner på de oppgavene jeg ikke fikk til/rotet meg bort på.

[tex]\int \frac{2}{(x+2)(x-3)} \, \mathrm{d}x[/tex]


[tex]\frac{2}{(x+2)(x-3)} = \frac{\mathrm{A}}{(x+2)} + \frac{\mathrm{B}}{(x-3)}[/tex]

[tex]2 = (x-3)\mathrm{A} + (x+2)\mathrm{B}[/tex]


[tex]x = 3[/tex] gir

[tex]2 = (3-3)\mathrm{A} + (3+2)\mathrm{B}[/tex]

[tex]2 = 5\mathrm{B}[/tex]

[tex]\underline{\mathrm{B} = \frac{2}{5}}[/tex]


[tex]x = -2[/tex] gir

[tex]2 = (-2-3)\mathrm{A} + (-2+2)\mathrm{B}[/tex]

[tex]2 = -5\mathrm{A}[/tex]

[tex]\underline{\mathrm{A} = -\frac{2}{5}}[/tex]


[tex]\int \frac{-\frac{2}{5}}{(x+2)} \, \mathrm{d}x + \int \frac{\frac{2}{5}}{(x-3)} \, \mathrm{d}x = -\frac{2}{5} \int \frac{1}{(x+2)} \, \mathrm{d}x + \frac{2}{5} \int \frac{1}{(x-3)} \, \mathrm{d}x = \underline{\underline{-\frac{2}{5} \ln|x+2| + \frac{2}{5} \ln|x-3| + \mathrm{C}}}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Har u prøvd å derivere svaret ditt ?

[Arctagon]

Du spør alltid om det. :b Og det er et bra tips, men jeg er ikke kun ute etter å vite om svaret er riktig, men også om framgangsmåten er riktig. Om det er noe å pirke på i utregningen.

[Nebuchadnezzar]

Ser da riktig ut dette, om enn regningen kunne vært gjort pittelitt lettere ved å sette 2 utenfor itnegrasjonen før delbrøkoppspaltingen.

Svaret ditt kan også skrives litt kortere som

[tex]I = \frac{2}{5} \ln \left| \frac{x-3}{x+2} \right| + \mathcal{C}[/tex]

Og selv ville jeg har skrevet utregningen litt mer kompakt, men det er jo som sagt en smakssak.

[tex]I = 2\int \frac{\mathrm{d}x}{(x-3)(x+2)} = \frac{2}{5} \int \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+2}\,\mathrm{d}x = \frac{2}{5} \ln \left| \frac{x-3}{x+2}\right| + \mathcal{C} [/tex]

Hvor vi i første overgang bruker at [tex]\frac{1}{(x-3)(x+2)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+2}[/tex] hvor [tex]A = \lim_{x \to 3} (x-3) \cdot \frac{1}{(x-3)(x+2)} = \frac{1}{5}[/tex] og [tex]B = \lim_{x \to -2} (x+2) \cdot \frac{1}{(x-3)(x+2)} = -\frac{1}{5}[/tex]. Og i siste overgang ble det benyttet at [tex]\int 1/x \, \mathrm{d}x = \log x + \mathca{C}[/tex] og [tex]\log a - \log b = \log (a/b)[/tex]

[Arctagon]

Jeg takker for inputen din.

Jeg tenkte ikke etter om jeg kunne forkorte eller ikke, men jeg ser definitivt hva du har gjort. Men, når det står en konstant foran logartimeuttrykket, så blir den med i begge leddene når en deler den opp med den regelen, sant?

[tex]I = 2\int \frac{\mathrm{d}x}{(x-3)(x+2)}[/tex]

Hvorfor har du skrevet [tex]\mathrm{d}x[/tex] i telleren? Jeg vet at du ganger den opp, men er det bare preferanse?

[tex]A = \lim_{x \to 3} (x-3) \cdot \frac{1}{(x-3)(x+2)} = \frac{1}{5}[/tex] og [tex]B = \lim_{x \to -2} (x+2) \cdot \frac{1}{(x-3)(x+2)} = -\frac{1}{5}[/tex].[/tex]

Denne framgangsmåten har jeg ikke vært borte i.

[Nebuchadnezzar]

[tex]\mathrm{d}x[/tex] i teller er bare en smakssak ja, er jo strengt talt ikke lov. Men det gjør at en får litt mindre å skrive. Og grunnen til at jeg bastant skriver \mathrm{d}x og ikke [tex]dx[/tex] er fordi [tex]\mathrm{d}[/tex] ikke er en variabel. så om vi skriver [tex]dx[/tex] så kan det strengt talt tolkes som [tex]d \cdot x[/tex].

Det er flere måter å tolke \mathrm{d}x, jeg liker å se på det som en liten forandring i [tex]x[/tex]. Kort sagt så skal variabler stå i kursiv, mens andre ting skal ikke det.

Grunnen til at vi kan skrive om uttrykket er fordi det står [tex]\frac{2}{5}[/tex] foran begge logaritmene. Om vi for eksempel hadde hatt

[tex]\frac{2}{3} \log(x+1) - \frac{3}{2} \log(x - 1)[/tex]

kunne vi ikke skrevet det mer kompakt for eksempel.

Og den siste måten med delbrøkoppspalting er mest fordi jeg er lat, og fordi den er langt raskere ^^

Eksempel:

[tex]\frac{1}{(x+2)(x-1)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+3}[/tex]

Om vi lar [tex]f(x) = \frac{1}{(x+2)(x-1)(x+3)}[/tex] så er

[tex]A = \lim_{x\to -2} (x+2) \cdot f(x)[/tex] , [tex]B = \lim_{x\to 1} (x-1)\cdot f(x)[/tex] , [tex]C = \lim_{x\to -3} (x+3) \cdot f(x)[/tex] osv =)

[Arctagon]

Og grunnen til at jeg bastant skriver \mathrm{d}x og ikke [tex]dx[/tex] er fordi [tex]\mathrm{d}[/tex] ikke er en variabel. så om vi skriver [tex]dx[/tex] så kan det strengt talt tolkes som [tex]d \cdot x[/tex].

Det er flere måter å tolke \mathrm{d}x, jeg liker å se på det som en liten forandring i [tex]x[/tex]. Kort sagt så skal variabler stå i kursiv, mens andre ting skal ikke det.

Jepp, jeg vet det. Jeg er derfor veldig konsekvent på det selv og har alltid skrevet \mathrm{d}x.

Grunnen til at vi kan skrive om uttrykket er fordi det står [tex]\frac{2}{5}[/tex] foran begge logaritmene. Om vi for eksempel hadde hatt

[tex]\frac{2}{3} \log(x+1) - \frac{3}{2} \log(x - 1)[/tex]

kunne vi ikke skrevet det mer kompakt for eksempel.

Generelt sett har vi at [tex]\log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a(b) - \log_a(c)[/tex]. Det jeg mente var at om det er en konstant foran logartimeuttrykket, slik [tex]d\log_a \left(\frac{b}{c}\right)[/tex], så blir den med i begge leddene når en deler opp logaritmeuttrykket med regelen, slik [tex]d\log_a(b) - d\log_a(c)[/tex], sant? Det stemmer jo, for [tex]d\log_a \left(\frac{b}{c}\right) = d\left(\log_a(b) - \log_a(c)\right) = d\log_a(b) - d\log_a(c)[/tex].

Og den siste måten med delbrøkoppspalting er mest fordi jeg er lat, og fordi den er langt raskere ^^

Eksempel:

[tex]\frac{1}{(x+2)(x-1)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+3}[/tex]

Om vi lar [tex]f(x) = \frac{1}{(x+2)(x-1)(x+3)}[/tex] så er

[tex]A = \lim_{x\to -2} (x+2) \cdot f(x)[/tex] , [tex]B = \lim_{x\to 1} (x-1)\cdot f(x)[/tex] , [tex]C = \lim_{x\to -3} (x+3) \cdot f(x)[/tex] osv =)

Ah, takk for forklaringen. Jeg ser hvordan det fungerer nå. Skal vurdere å ta den i bruk selv, for som du sier er den en del raskere.