Derivasjon, notasjon

[Aleks855]

Hei,

Har fått en tilbakemelding på en av videoene mine. Tilbakemeldingen gjelder at jeg har gjort en liten "ulovlig" operasjon.

Det gjelder http://udl.no/video/derivasjon-105-kjer ... comment-91

Problemet er visst at jeg rundt 0:20 skriver om f(x) til f(u) og benytter den egendefinerte kjernen.

Kommentaren sier at jeg burde ha skrevet en ny funksjon g i stedet, og sagt at [tex]g(u) = u^4[/tex] i stedet for å bruke f igjen.

Selv ser jeg på det som å skrive den samme funksjonen f, bare med hensyn på to forskjellige variabler, så gjenbruk av f virker forsvarlig.

Men kommentaren var skrevet på en måte som viser at personen har vært innom dette før, så jeg vil ikke bare slenge den til siden likevel.

Kan noen bekrefte eller avkrefte at jeg gjorde en neinei?

På forhånd takk!

[Gustav]

Si at vi har at [tex]f(x)=(x^2+1)^4[/tex]. Du kan ikke deretter si at [tex]f(u)=u^4[/tex]. Da har du definert funksjonen [tex]f[/tex] på nytt, og annerledes. (vi vil f.eks. fremdeles ha at [tex]f(u)=(u^2+1)^4[/tex].) Løsningen vil være, som det også er vist her http://www.sosmath.com/calculus/diff/der04/der04.html , å definere f.eks. funksjoner [tex]h(x)=x^2+1[/tex], og [tex]g(x)=x^4[/tex], og deretter vil [tex]f(x)=g\, \circ\, h(x)=g(h(x))[/tex].

Det er mulig at problemet ligger i at du har tolket "f(u)" som navnet på en ny funksjon gitt ved at [tex]u\to u^4[/tex]. Dette blir likevel uklart siden den vanlige tolkningen av "f(u)" er funksjonen f, der u er angitt som navnet på variabelen.

[Aleks855]

Når du sier det så er det jo innlysende. Jeg får iverksette litt reproduksjon

Takk for godt formulert svar!

[Nebuchadnezzar]

Strengt talt går jo dette fint, om meningen er at [tex]u[/tex] er en funksjon.
Altså vi implisitt mener at [tex]u[/tex] betyr [tex]u(x)[/tex].
Skriver jo for eksempel ofte når vi bruker delvis integrasjon at
[tex]u = 2x[/tex] og [tex]v^\prime = e^x[/tex], selv om vi "egentlig" definerer [tex]u(x)=2x[/tex] og [tex]v^\prime(x)=e^x[/tex].

Et annet eksempel er når vi benytter oss av substitusjon. Men dog kan og en substitusjon og representere at vi bytter koordinatsystem fra [tex]xy[/tex] planet til eksempelvis [tex]uy[/tex] planet, og da går det greit at vi sløyfer at [tex]u[/tex] er en funksjon.

[svinepels]

Så lenge man påpeker at [tex]u[/tex] er en funksjon og ikke representerer funksjonsvariabelen til [tex]f[/tex] bør vel dette gå fint, er ganske vanlig å bruke denne notasjonen og? Men som nebu sier, man bør helst skrive [tex]u(x)[/tex] framfor [tex]u[/tex] slik at [tex]f(u(x))[/tex] tolkes som komposisjonen [tex](f \circ u)(x)[/tex].

[prasa93]

Ikke at det er så veldig on-topic, men må få berømme at du klarer å konsentrere deg om matte kl 04:34 om natten, Aleks!

[Gustav]

Strengt talt går jo dette fint, om meningen er at [tex]u[/tex] er en funksjon.
Altså vi implisitt mener at [tex]u[/tex] betyr [tex]u(x)[/tex].
Skriver jo for eksempel ofte når vi bruker delvis integrasjon at
[tex]u = 2x[/tex] og [tex]v^\prime = e^x[/tex], selv om vi "egentlig" definerer [tex]u(x)=2x[/tex] og [tex]v^\prime(x)=e^x[/tex].

Et annet eksempel er når vi benytter oss av substitusjon. Men dog kan og en substitusjon og representere at vi bytter koordinatsystem fra [tex]xy[/tex] planet til eksempelvis [tex]uy[/tex] planet, og da går det greit at vi sløyfer at [tex]u[/tex] er en funksjon.

Det er vel egentlig ikke dette som er "problemet". Jeg bruker en annen notasjon for å beskrive hva som er problematisk ved notasjonen i videoen:

La først funksjonen [tex]f[/tex] være definert ved at [tex]x\to (x^2+1)^4[/tex], (der x er inneholdt i en eller annen domene I).

La så [tex]u[/tex] være definert ved at [tex]x\to x^2+1[/tex], og [tex]g[/tex] være definert ved at [tex]x\to x^4[/tex].

Da er [tex]f=g\,\circ \,u[/tex], eller altså at [tex]f(x)=g(u(x))[/tex]

I videoen er dog g(u(x)) kalt f(u), altså har man satt likhetstegnet f(x)=f(u(x)). Dette stemmer generelt ikke.

[Aleks855]

Jeg har jo selv lært at hvis man har et funksjonsuttrykk f(x) og deretter bruker f igjen, så skal man bytte ut x'ene med det nye argumentet, så jeg er jo enig med Plutarco, at det virker som jeg redefinerer funksjonen.

prasa93: Hobbyer har en tendens til å dra seg ut over natta også =)

[Arctagon]

Been there, done that. Om noe er i ferd med å bli interessant, skal det godt gjøres å legge det fra seg sånn helt uten videre.