Lagranges metode!!

[hjelp]

heisann! oppgaven går som følger:

bruk lagranges metode for å finne maksimums til f under denne bibetingelse. Du kan anta at maksikum og minimum eksisterer og at maximum finnes ved langranes metode

funksjonen f(x,y) = xy under bibetengelsen x + y = 2

[Guest]

Skyter inn et lite tilleggspørsmål her: Er det noen som faktisk forstår Lagranges multiplikatormetode, eller bare pugget dere den som meg?

[Guest]

grad f = c grad g, mao. y = c(y + 1) og x = c(x + 1). Får c = y/(y + 1) = x/(x + 1) og dermed x(y + 1) = x = y(x + 1) = y. x + y = 2, så x = y = 1 og f(x,y) = 1.

Alternativt: xy = x(2 - x) = -(x - 1)^2 + 1 =< 1. Maksimum for x = 1 = y.

[ErlendA]

Denne siden er informativ...

Du kan hoppe over det om mangfoldigheter og gå direkte til R^n.

http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=7276

[Guest]

tusen takk for hjelpen nå ble vi glade =)

[lillemor]

grad f = c grad g,

kan noen forklare meg akkurat den der??

[Booodø]

lurer litt på den jeg også... Må ærlig innrømme at jeg ikke er heeelt fortrolig med disse Lagrange-greierne

[Bernoulli]

Det hele er egentlig ganske intuitivt hvis du ser på enkle eksempler. Vi skal altså finne

min f(x,y) , gitt c(x,y) = 0

Det er ikke vanskelig å vise at grad(c) står vinkelrett på kurven til c. Prøv å tegn dette (tenk at du svinger en lodd på en snor over hodet ditt).

Anta nå for enkelhetsskyld at f er et kvadratisk polynom. Nivåkurvene til f blir da ellipser, med minimumspunktet plassert i sentrum av ellipsene. Med samme argument som for c så vil grad(f) hele tiden stå vinkelrett på disse nivåkurvene. (tegn figur!!)

Tegn så kurven til c og nivåkurvene til f i samme xy-plan, og se på det punktet hvor kurven til c og en av nivåkurvene til f tangerer hverandre. Da skal det ikke mye fantasi til for å se at de to gradientene er paralelle

Dette gjelder selvsagt også for mer generelle f.