Bruk induksjon til å vise at... 2

[Razzy]

Oppgaven:

Bruk induksjon til å vise at;

[tex]$$1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \cdot n \;>\; {5^n}\;for\;alle\;heltall\;n \ge 12$$[/tex]


Løsningsforslag:

[tex]$$P\left( n \right):\;\;1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \cdot n \;>\; {5^n}\;for\;\;n \ge 12$$[/tex]


1. Grunnsteget:

[tex]$$P\left( 12 \right):\;\;1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \cdot 12 \;>\; {5^{12}}\;for\;alle\;heltall\;n \ge 12$$[/tex]

[tex]$$P\left( {12} \right):\;\;479 \times {10^6} \;>\; 244 \times {10^6}\;\;o.k.$$[/tex]


2. Induksjonssteget:

[tex]$$P\left( {n + 1} \right):\;\;\underbrace {1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \cdot n}_{} \cdot \left( {n + 1} \right) \;>\; {5^{n + 1}}$$[/tex]


3. [tex]$$P\left( {n + 1} \right):\;\;{5^{n + 1}} \cdot \left( {n + 1} \right) \;>\; {5^{n + 1}}\;\;o.k.$$[/tex]

Er det nødvendig å si noe mer her? Bør jeg gi tall eksempler?

[Vektormannen]

Her er det noe som skurrer. Du bytter ut [tex]1 \cdot 2 \cdots n[/tex] med [tex]5^{n+1}[/tex]? Det gir ikke så mye mening, men jeg tror du er inne på riktig tankegang.

Det du vet er at [tex]1 \cdot 2 \cdots n > 5^n[/tex]. Det betyr at [tex]1 \cdot 2 \cdots n \cdot (n+1) > 5^n \cdot (n+1)[/tex]. Men n er jo større eller lik 12, som i alle fall er større enn 5. Med andre ord er [tex]5^n \cdot (n+1) > 5^n \cdot 5 = 5^{n+1}[/tex] og da er vi i mål. Er du med på dette resonnementet?

[Razzy]

Det du vet er at [tex]1 \cdot 2 \cdots n > 5^n[/tex]. Det betyr at [tex]1 \cdot 2 \cdots n \cdot (n+1) > 5^n \cdot (n+1)[/tex].

Hvorfor erstatter du ikke [tex]5^n[/tex] med [tex]$${5^{n + 1}}$$[/tex] slik jeg har gjort tidligere? Jeg vil jo at rekken skal summere opp ett ledd til, da øker jeg n med en.

Men n er jo større eller lik 12, som i alle fall er større enn 5. Med andre ord er [tex]5^n \cdot (n+1) > 5^n \cdot 5 = 5^{n+1}[/tex] og da er vi i mål. Er du med på dette resonnementet?

12 er større enn 5 - helt enig, men hvor kommer dette spørsmålet fra?

[tex]$${5^n}\cdot(n + 1) > {5^n}\cdot5 = {5^{n + 1}}$$[/tex]

Ser ingen rød tråd Vektormannen - beklager.

Skal lese mer om emnet og ta meg en pause, for syntes ikke det er naturlig det som skjer, virker som matten ikke går et steg til det neste men mer som en diskusjon; plutselig hopper det inn der og det inn der...

[Vektormannen]

Jeg skal prøve å forklare det litt bedre.

Vi antar at ulikheten stemmer for n, det vil si at [tex]1 \cdot 2 \cdots n > 5^n[/tex]. Så må vi vise at den da stemmer for n+1. Målet (i den måten jeg gjør det på) er å starte med venstre side i ulikheten P(n+1) og vise at denne blir større enn [tex]5^{n+1}[/tex].

Venstre siden er [tex]1 \cdot 2 \cdots n \cdot (n+1)[/tex]. Vi benytter antagelsen. Da vet vi at [tex]1 \cdot 2 \cdots n \cdot (n+1) > 5^n \cdot (n+1)[/tex]. Er du med så langt?

Nå gjenstår det å vise at [tex]5^n \cdot (n+1)[/tex] er større enn (eller lik) [tex]5^{n+1}[/tex]. Husk på at [tex]5^{n+1} = 5 \cdot 5^n[/tex]. Vi har allerede en faktor [tex]5^n[/tex] her. Det betyr at hvis vi kan argumentere for at n+1 er større eller lik 5, så må jo i alle fall [tex]5^n \cdot (n+1)[/tex] være større enn [tex]5^n \cdot 5 = 5^{n+1}[/tex]!

Ta deg litt tid til å tenke over dette. Jeg tror veldig mange syns det er litt vanskelig å utføre slike bevis som ikke er like "metodebaserte" som de mer vanlige induksjonsbevisene med rekker og sumformler. Et bevis kan godt være som en "diskusjon" med mer tekst. Når du henger med på dette beviset så kan du jo godt prøve å formulere det mer stegbasert slik du har gjort i de andre bevisene!

[Razzy]

Oppgaven:

Bruk induksjon til å vise at;

[tex]$$1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \cdot n \;>\; {5^n}\;for\;alle\;heltall\;n \ge 12$$[/tex]


Nytt løsningsforslag:

[tex]$$P\left( n \right):\;\;1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \cdot n \;>\; {5^n}\;for\;\;n \ge 12$$[/tex]


I. Grunnsteget:

Mål; Bevise at ulikheten [tex]P(n)[/tex] gjelder for grunntilfellet 12.


1. [tex]$$P\left( 12 \right):\;\;1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \cdot 12 \;>\; {5^{12}}\;for\;alle\;heltall\;n \ge 12$$[/tex]

2. [tex]$$P\left( {12} \right):\;\;479 \times {10^6} \;>\; 244 \times {10^6}\;\;o.k.$$[/tex]


II. Induksjonssteget:

Mål; Bevise at v.s. i ulikheten [tex]P(k+1)[/tex] blir større enn [tex]5^{k+1}[/tex].


3. Antar: [tex]$$P\left( k \right):\;\;1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \cdot k\; > \;{5^k}\;for\;\;k \ge 12$$[/tex]

4. Vil bevise: [tex]$$P\left( {k + 1} \right):\;\;1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \cdot k \cdot \underbrace {\left( {k + 1} \right)}_{}\; > \;{5^k}$$[/tex]

Benytter antakelsen og får følgende uttrykk:

5. [tex]$$P\left( {k + 1} \right):\;\;1\cdot2\cdot3 \ldots \cdot k\cdot\underbrace {\left( {k + 1} \right)}_{}\; > \;{5^k} \cdot \underbrace {\left( {k + 1} \right)}_{}$$[/tex]

Merker oss leddet som er lagt til begge sider av ulikheten.


[tex]$$ * $$[/tex] Nå har vi det vi trenger for å bevise at [tex]$${5^k} \cdot (k + 1)$$[/tex] er [tex]$$ \ge \; {5^{k + 1}}$$[/tex]

Merk; [tex]$${5^{k + 1}} = 5 \cdot {5^k}$$[/tex]


Beviset er nå redusert til: [tex]$$k + 1 \ge 5$$[/tex]

Gitt av oppgaven er ulikheten kun gyldig [tex]$$n \ge 12$$[/tex] dermed faller resten som domino brikker:

[tex]$$k + 1 \ge 5 \Rightarrow {5^k} \cdot \left( {k + 1} \right) \ge {5^k} \cdot 5 = {5^{k + 1}}$$[/tex]

[tex]$$ \Rightarrow {5^n} \cdot \left( {k + 1} \right) \ge {5^{n + 1}}\;\;\;o.k.$$[/tex]


Kunne du sett ekstra godt over linje 4 og 5? Kan også hende at slutten her ble noe texas. Hadde aldri klart dette uten din hjelp, men etterhvert!

[Vektormannen]

Det ser bra ut dette. Ser ut som du har forstått det! Det er det som er viktig, ikke at du ikke gjorde det helt alene første gang. Jeg husker selv at jeg og andre medstudenter sleit med å få det til første gang vi skulle bevise en ulikhet med induksjon. Det er ikke så lett å f.eks. se det argumentet at n+1 alltid er større enn 5 og at [tex](n+1) \cdot 5^n[/tex] derfor blir større enn [tex]5^{n+1}[/tex], hvis man aldri har sett noe lignende før. Veldig ofte går jo induksjonsbevis bare ut på å bevise en sumformel. Da gjør man de samme tingene hver eneste gang (legg til et nytt ledd på hver side i P(n), gjør diverse algebrating og end opp med ønsket formel i P(n+)).

[Razzy]

Det ser bra ut dette. Ser ut som du har forstått det! Det er det som er viktig, ikke at du ikke gjorde det helt alene første gang. Jeg husker selv at jeg og andre medstudenter sleit med å få det til første gang vi skulle bevise en ulikhet med induksjon. Det er ikke så lett å f.eks. se det argumentet at n+1 alltid er større enn 5 og at [tex](n+1) \cdot 5^n[/tex] derfor blir større enn [tex]5^{n+1}[/tex], hvis man aldri har sett noe lignende før. Veldig ofte går jo induksjonsbevis bare ut på å bevise en sumformel. Da gjør man de samme tingene hver eneste gang (legg til et nytt ledd på hver side i P(n), gjør diverse algebrating og end opp med ønsket formel i P(n+)).

Takker igjen for hjelpen. For ikke sagt det nok hvor viktig det er å ikke gi seg med en oppgave til man er trygg på den og motivasjonen for å orke dette henter jeg ved å forsøke å interessere meg for det jeg gjør. Samtidig som jeg forsøker å være nøyaktig og ryddig i arbeidet.

Hørte nylig på tv under OL at; "grunnen til at denne løperen har kommet så langt er fordi han har hele tiden vært nøye med å bygge seg rolig og sikkert opp."

Det er jo et nytt språk jeg skal lære meg det her, det er ikke nødvendigvis oppgaven som er problemet, men å få besvart den matematisk.

[Vektormannen]

Det er nok mye riktig i det sitatet som kan overføres til dette ja. Det er utrolig vanskelig å lære matte om man kun prøver å lære seg flest mulig oppskrifter og formler. Hvis man tar seg tid til å bygge det opp gradvis, se sammenhengene og de mer generelle ideene, er det så mye lettere å angripe nye problemer.

Jeg kjenner meg litt igjen i det du sier om å "forsøke å interessere seg". Det er jo faktisk ikke alltid slik at interessen er der med en gang. Men hvis man går inn for å ta ting steg for steg å og se at ting faktisk henger logisk sammen, så tror jeg at man over tid kanskje kan synes det blir litt mer interessant også.